Interpretazione di grafici, con parametri.

a.  

$ y(x) = ax+b+\frac{c}{x} $

• Dominio = ℝ\{0}

La funzione y(x) è del tipo razionale fratta quindi continua e derivabile laddove definita.

• Equazione dell'asintoto. A vista deduciamo che è parallela alla bisettrice del 2°-4° quadrante con intercetta q = +1. L' equazione della retta è y = -x + 1; ovvero m = -1 e q = +1.

Imponiamo le due condizioni.

1.

$ m = \displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} \frac{y(x)}{x} = -1 $

$\displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} a+\frac{b}{x} + \frac{c}{x^2} = -1 $

$ a = -1$

La funzione si presenta come $y(x) = -x+b+\frac{c}{x} $

2. 

$ q = \displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} y(x) - mx =$

$ q = \displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} -x +b+\frac{c}{x}  + x =$

$ q = \displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} b+\frac{c}{x} = 1 $

$ b = 1 $

La funzione si presenta come $y(x) = -x+1+\frac{c}{x} $

Ω. Come ultima condizione imponiamo la presenza di estremanti in x = ±2

Annulliamo la derivata prima

$ y'(x) = -1-\frac{c}{x^2} = 0 $

$ -\frac{x^2+c}{x^2} = 0 $

è imponiamo  che valga per x = ±2

$ c = - 4 $

La funzione y(x) è definita dall'equazione

$ y = -x+1-\frac{4}{x}$

b.

Valutiamo i valori del minimo e del massimo relativi.

• min f(x) = f(-2) = 5
• max f(x) = f(2) = -3

inoltre

• $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}y(x) = +\infty $
• $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}y(x) = -\infty $ 

Per il teorema della valori intermedi (IVT) possiamo concludere che 

Imm y(x) = (-∞, -3) U (5, +∞)