Interpretare grafici e dati

Assumo che le velocità dei due atleti abbiano andamento parabolico:

η = α·t^2 + β·t + γ

μ = Α·t^2 + Β·t + Γ

Per i tre punti arrivo a scrivere la loro funzione.

η = η(t)

[0, 6]

[10, 5]

[30, 4.6]

{γ = 6

{100·α + 10·β + γ = 5

{900·α + 30·β + γ = 23/5

risolvo ed ottengo: α = 1/375 ∧ β = - 19/150 ∧ γ = 6

η = t^2/375 - 19·t/150 + 6

Analogamente per la seconda funzione delle velocità del secondo atleta ottengo:

μ = - t^2/300 + 7·t/30 + 3

(i tre punti sono individuati in figura)

Lo spazio percorso dai singoli atleti è dato dagli integrali di tali funzioni, valutato da:

t = 0 a t = τ

Quindi per sapere a quali istanti gli spazi percorsi sono gli stessi, vediamo dove si annulla la differenza:

η - μ = (t^2/375 - 19·t/150 + 6) - (- t^2/300 + 7·t/30 + 3)

η - μ = 3·t^2/500 - 9·t/25 + 3

integrata dai valori di t su esposti:

∫(3·t^2/500 - 9·t/25 + 3) dt = t^3/500 - 9·t^2/50 + 3·t

Quindi bisogna determinare:

τ^3/500 - 9·τ^2/50 + 3·τ = 0

τ·(τ^2 - 90·τ + 1500)/500 = 0

τ = 45 - 5·√21 ∨ τ = 5·√21 + 45 ∨ τ = 0

(τ = 22.09 s ∨ τ = 67.91 s ∨ τ = 0 s)

Quindi sino a 22.09 s il primo atleta risulta in testa. Ne consegue che sia per t=5 s che per t = 10 s il primo atleta è sempre in testa: d'altra parte gli integrali sono misurati dall'area dei singoli integrali).