Integrazione di funzioni razionali

$ \int \frac{1}{x^3+8} \, dx = \int \frac{1}{(x+2)(x^2-2x+4)} \, dx$ 

Procediamo con la decomposizione 

$ \frac{1}{(x+2)(x^2-2x+4)} = \frac{A}{x+2} + \frac{Bx+C}{x^2-2x+4)} $

$ 1 = Ax^2-2Ax+4A + Bx^2 + 2Bx + Cx+2C $ dalla quale ricaviamo il sistema

$ \left\{\begin{aligned} A+B &= 0 \\ -2A+2B+C &= 0 \\ 4A+2C &= 1 \end{aligned} \right. $ 
la soluzione è

• $A = \frac{1}{12}$
• $B = -\frac{1}{12}$
• $C = \frac{1}{3}$

per cui

$ \int \frac{1}{x^3+8} \, dx = \frac{1}{12} \int \frac{1}{x+2} \, dx - \frac{1}{12} \int \frac{x}{x^2-2x+4} \, dx + \frac{1}{3}\int \frac{1}{x^2-2x+4} \, dx = \frac{1}{12} ln|x+2|-\frac{1}{12} \int \frac{x}{x^2-2x+4} \, dx + \frac{4}{12}\int \frac{1}{x^2-2x+4} \, dx = \frac{1}{12} ln|x+2|-\frac{1}{12} \int \frac{x-4}{x^2-2x+4} \, dx =$

Facciamo in modo che al numeratore compaia la derivata del denominatore moltiplicando e dividendo per 2

$ = \frac{1}{12} ln|x+2|-\frac{1}{24} \int \frac{2x-8}{x^2-2x+4} \, dx = \frac{1}{12} ln|x+2|-\frac{1}{24} \int \frac{2x-2}{x^2-2x+4} \, dx + \frac{6}{24} \int \frac{1}{x^2-2x+4} \, dx = \frac{1}{12} ln|x+2|- \frac{1}{24} ln|x^2-2x+4|+ \frac{1}{4} \int \frac{1}{x^2-2x+4} \, dx = \frac{1}{12} ln|x+2|- \frac{1}{24} ln(x^2-2x+4) + \frac{1}{4√3}arctan \left(\frac{x-1}{\sqrt{3}}\right) + c $

A parte risolviamo l'ultimo integrale

I) $ \int \frac{1}{x^2-2x+4} \, dx = $       completiamo il quadrato al denominatore.

$ = \int \frac{1}{(x-1)^2 + 3 } \, dx =$      poniamo $ t = x-1 \; ⇒ \; dt = dx $ 

$ = \int \frac{1}{t^2 + 3 } \, dx = \int \frac{1}{3((\frac {t}{\sqrt{3}})^2 + 1) } \, dt =$

poniamo $ s = \frac {t}{\sqrt{3}}  \; ⇒ \; \sqrt{3} ds = dt $  

$ \frac {1}{\sqrt{3}}\int \frac{1}{(s^2 + 1) } \, ds = \frac {1}{\sqrt{3}} arctan s +c = \frac {1}{\sqrt{3}} arctan \frac {t}{\sqrt{3}} +c = \frac {1}{\sqrt{3}} arctan \frac {x-1}{\sqrt{3}} +c $