Integrazione di funzioni razionali

Osserviamo che:

1. Il determinante del trinomio è negativo (Δ=-4). Il trinomio non è ulteriormente scomponibile nei reali.
2. Il numeratore è una costante quindi la soluzione che ci aspettiamo è del tipo arcotangente di qualcosa.
3. Se il numeratore fosse stato del tipo Ax+B nella soluzione comparirebbe un logaritmo.

Visto che ci aspettiamo un arcotangente, vediamo di ridurre il denominatore nella forma  x²+1 . Per ridurlo completiamo il quadrato

$ x^2+2x+2 = x^2+2x+2 + 1 = (x+1)^2 + 1 $

Una semplice sostituzione e ci siamo. $ t = x+1 \; ⇒ \; dt = dx $

$ \int \frac{1}{x^2+2x+2} \, dx = \int \frac {1}{t^2 + 1} \, dt = arctan t + c = arctan (x+1) + c $

E' richiesto di determinare la primitiva che ha come asintoto orizzontale sinistro la retta y = - 1, ovvero

$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} arctan (x+1) + c = -\frac{\pi}{2} + c = -1\; ⇒ \; c = \frac{\pi}{2} - 1 $

La primitiva sarà quindi

$ F(x) = arctan (x+1) + \frac{\pi}{2} - 1 $