Integrazione di funzioni razionali

Le primitive sono Y(x,C) = arctg (x + 1) + C

arctg 1 + C = 0 => C = - pi/4

Così F(x) = arctg (x+1) - pi/4

lim_x->+oo arctg(x+1) - pi/4 = pi/2 - pi/4 = pi/4

y = pi/4 asintoto orizzontale a destra

lim_x->-oo arctg (x+1) - pi/4 = -pi/2 - pi/4 = -3/4 pi

y = -3/4 pi asintoto orizzontale sinistro

Si vede a occhio che le primitive F(x) sono

$ F(x) = \int \frac{1}{(x+1)^2 + 1} \, dx = arctan (x+1) + c $

La primitiva che per l'origine F(0) = 0 ha equazione

$F(0) = 0 $

$ arctan (1) + c = 0 $

$ c = - \frac{\pi}{4} $ 

$ F_0(x) = arctan (x+1) - \frac{\pi}{4} $

La funzione arcotangente ammette due asintoti orizzontali, nel nostro caso

$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} arctan (x+1) - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$

• Asintoto orizzontale destro ha equazione $y = \frac{\pi}{4}$

$ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} arctan (x+1) - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$

• Asintoto orizzontale sinistro ha equazione $y = -\frac{3\pi}{4}$