Spiegare i passaggi.
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Livello 2
1. Procediamo con la divisione. $ u^5 : (u^4-1) = u + \frac {u}{u^4 -1} $ per cui
$ \int \frac{u^5}{u^4-1} \, du = \int u \, du + \int \frac {u}{u^4-1} \, du = \frac{u^2}{2} + \int \frac {u}{u^4-1} \, du = \; ⊳ $
2. Decomponiamolo
$ \frac{u}{(u^2+1)(u^2-1)} = \frac{Au+B}{u^2-1} + frac{Cu+D}{u^2+1} $
$ u = Au^3-Au+Bu^2-B+Cu^3+Cu+Du^2+D $ dalla quale ricaviamo il sistema
$ \left\{\begin{aligned} A+C &= 0 \\ B+D &= 0\\C-A &= 1 \\-B+D &= 0 \end{aligned} \right. $
la soluzione è
per cui
$ ⊳ \; = \frac{u^2}{2} - \frac{1}{2} \int \frac {u}{u^2+1} \, du + \frac{1}{2} \int \frac {u}{u^2-1} \, du = \frac{u^2}{2} - \frac{1}{4} \int \frac {2u}{u^2+1} \, du + \frac{1}{4} \int \frac {2u}{u^2-1} \, du =$
$ = \frac{u^2}{2} - \frac{1}{4} ln|u^2+1|+ \frac{1}{4} ln|u^2-1| + c $
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Livello 6