Integrazione di funzioni razionali

1. Dividiamo.

$ \frac{u^5}{u^4-1} = u + \frac{u}{u^4-1} = u + \frac {u}{(u^2+1)(u+1)(u-1)} = \; ⊳ $

Procediamo con la decomposizione 

$ \frac{u}{(u^2+1)(u+1)(u-1)} = \frac{Au+B}{u^2+1} + \frac{C}{u+1} + \frac{D}{u-1}$

$ u = Au^3-Au + Bu^2 - B +Cu^3-Cu^2+Cu-C +Du^3 +Du^2+Du+D $ dalla quale ricaviamo il sistema

$ \left\{\begin{aligned} A+C+D &= 0 \\ B-C+D &= 0 \\ -A+C+D &= 1 \\ -B-C+D &= 0 \end{aligned} \right. $ 
la soluzione è

• $A = -\frac{1}{2}$
• $B = 0$
• $C = \frac{1}{4}$
• $D = \frac{1}{4}$

per cui

$ ⊳ \; = \int u \, du -\frac{1}{2} \int \frac{u}{u^2+1} \, du + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u+1} \, du  + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u-1} \, du = \frac{u^2}{2} - \frac{1}{4} \int \frac{2u}{u^2+1} \, du + \frac{1}{4} ( ln|x+1| + ln|x-1|) + c = \frac{u^2}{2} - \frac{1}{4} ln (u^2+1) + \frac{1}{4} ln|x^2-1|) + c $ 

nota. Nel secondo passaggio abbiamo moltiplicato e diviso per 2 in modo che il numeratore diventi la derivata del denominatore.