Una funzione discontinua in [a;b] può essere integrabile in [a;b]? Esempio?
Una funzione discontinua in [a;b] può essere integrabile in [a;b]? Esempio?
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Livello 2
@Fede_uwu-2 punto di discontinuità, la funzione tende all'infinito in un punto dell'intervallo.
Integrale Divergente: Se la funzione cresce troppo velocemente, l'area diventa infinita. Ad esempio, f(x) = 1/x,
tra 0 e 1 non è integrabile perché il risultato tende a ∞.
Se la integranda è discontinua devi utilizzare il metodo della integrazione generalizzata, sostituendo al punto di discontinuità un generico valore k. Poi calcoli l'integrale definito in funzione di k e infine determini il limite della funzione trovata per k ---> al punto di discontinuiaà. Se il valore del limite esiste ed è finito, allora la funzione è integrabile "in senso generalizzato", diversamente no
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Livello 8
La domanda è ambigua, dovresti usare i giusti termini matematici.
1. Se parliamo di "integrale indefinito" ovvero dell'esistenza di una funzione primitiva, la risposta è no. Viene violata l'ipotesi di continuità. Il risultato di un integrale indefinito è un'insieme di funzioni continue.
2. Se parliamo di integrazione "secondo Riemann" Una funzione continua con un solo punto di discontinuità è sicuramente integrabile. Anzi, una funzione continua con una infinità numerabile di punti di discontinuità è integrabile secondo Riemann. Il risultato di un integrale di Riemann è un numero reale.
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Livello 6
@cmc E la funzione x^2sin(1/x)?
La funzione f(x) = x^2 sin(1/x) è definita e continua in ℝ\{0}.
i) E' integrabile secondo Riemann.
ii) La funzione f(x) non ammette una primitiva in ℝ\{0}.
Vediamo cosa dice la bibbia
https://www.wolframalpha.com/input?i=F%28x%29+%3D+antiderivative+x%5E2sin%281%2Fx%29
ci da un risultato
F(x) = 1/6(Ci(1/x) + x((2x^2-1)sin(1/x) + x cos(1/x))
quindi esistono le primitive!
Se osserviamo bene compare la funzione Ci ovvero coseno integrale la quale è definita per x > 0.
Conclusione.
i) La funzione f(x) è definita e continua in [a, b] con a e b numeri positivi. Tutto questo in accordo con quanto detto nella risposta.
ii) La funzione f(x) non è definita in zero per a negativo e b positivo quindi non esistono le primitive.
Integrale Divergente: Se la funzione cresce troppo velocemente, l'area diventa infinita. Ad esempio, f(x) = 1/x,
tra 0 e 1 non è integrabile perché il risultato tende a ∞.
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Genius II
@mg Ma scusi dal punto di vista degli integrali indefiniti? O anche per applicare il Corollario del Teorema di Torricelli Barrow? (F(b)-F(a))
Considerata la funzione 1(t) =
{ 0 se t < 0,
{ 1 se t >= 0
essa é discontinua di prima specie in t = 0 ma é integrabile in [1,1] con integrale di valore 1.
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Livello 7
@eidosm Sii ma questo ricade negli integrali definiti (riemann etc..) io intendo gli integrali indefiniti (primitive etc..)