Integrale definito

Sistemiamo meglio la funzione integranda:

SIN(x)^2·COS(ω·x)

SIN(x)^2 = 1/2 - COS(2·x)/2 per cui:

(1/2 - COS(2·x)/2)·COS(ω·x) = COS(ω·x)/2 - COS(2·x)·COS(ω·x)/2=

poi analizziamo il termine:

COS(2·x)·COS(ω·x)/2

sfruttando la relazione trigonometrica:

COS(α)·COS(β) = (COS(α + β) + COS(α - β))/2

possiamo scrivere:

COS(2·x)·COS(ω·x)/2 = (COS(2·x + ω·x) + COS(2·x - ω·x))/4=

=(COS(x·(ω + 2)) + COS(x·(2 - ω)))/4

Quindi a parte la costante di integrazione, calcoliamo:

∫(COS(ω·x)/2) dx = SIN(ω·x)/(2·ω)

∫((COS(x·(ω + 2)) + COS(x·(2 - ω)))/4) dx =

=SIN(x·(ω - 2))/(4·(ω - 2)) + SIN(x·(ω + 2))/(4·(ω + 2))

da cui si deduce che:

∫(SIN(x)^2·COS(ω·x)) dx=

=SIN(ω·x)/(2·ω) - SIN(x·(ω - 2))/(4·(ω - 2)) - SIN(x·(ω + 2))/(4·(ω + 2))

Formula di duplicazione del coseno:

cos(2x) = 1 - 2 (sen x)^2;

(sen x)^2 = [1 - cos(2x)] / 2;

∫(sen x)^2 * cos(ω x) dx = 

= ∫ [1 - cos(2x)] / 2 * cos(ω x) dx ;

1/2 ∫[cos(ω x) - cos(ω x) * cos(2x)] dx =

1/2 ∫[cos(ω x)] dx - 1/2 ∫[cos(ω x) * cos(2x)] dx =

1/2 * [sen(ω x) / ω] - 1/2 *∫[cos(ω x) * cos(2x)] dx,

formula di addizione  sottrazione:

cosx * cosy = [cos(x + y) + cos(x - y)] / 2.

cos(ω x) * cos(2x) = [cos(ωx + 2x) + cos(ωx - 2x)] / 2.

Possiamo sostituire:

1/2 * [sen(ω x) / ω] - 1/2 *∫[cos(ω x) * cos(2x)] dx =

1/2 * [sen(ω x) / ω] - 1/2 *∫[cos(ωx + 2x) + cos(ωx - 2x)] / 2 dx =

= [sen(ω x) / 2ω] - 1/4 * ∫[cos(ωx + 2x)]dx  - 1/4 ∫[cos(ωx - 2x)]dx =

= [sen(ω x) / 2ω] - 1/4 * ∫cos[(ω + 2)x])dx  - 1/4 ∫cos[(ω - 2)x]dx =

= [sen(ω x) / 2ω] - 1/4 * {sen[(ω + 2)x] /(ω + 2)} - 1/4 * {sen[(ω - 2)x] /(ω - 2)} + C