Svolgere il seguente integrale CON e SENZA la tecnica X SOSTITUZIONE:
Spiegare i passaggi e argomentare.
Svolgere il seguente integrale CON e SENZA la tecnica X SOSTITUZIONE:
Spiegare i passaggi e argomentare.
11881
punti
Livello 2
Per sostituzione.
Poniamo $ t = \sqrt{e^x-1} \; ⇒ \; e^x = t^2+1$ differenziando
$ dt = \frac{e^x}{2\sqrt{e^x -1}} \, dx \; ⇒ \; 2t \, dt = e^x \,dx \; ⇒ \; \frac{2t}{t^2+1} \, dt = dx $
Passando all'integrale
$ \int \sqrt{e^x-1} \, dx = \int \frac{2t^2}{t^2+1} \, dt =$
$ = 2 \int \frac{t^2 +1 }{t^2+1} \, dt -2 \int \frac{1 }{t^2+1} \, dt = $
$ = 2 t -2 arctan(t) + c = $
$ = 2 \sqrt{e^x-1} - 2 tan^{-1}(\sqrt{e^x-1}) + c $
21742
punti
Livello 6