[Risolto] Gruppo fandamentale topologia

Che bella domanda, grazie @enrico_schiaratura che mi hai fatto riprendere la topologia!

Notiamo che la tua figura altro non è che il grafo cubo $Q_3$, grafo connesso 3-regolare.

Per i grafi, il gruppo fondamentale è il gruppo libero $F_n$ che ha tanti generatori quanti sono gli spigoli $E$  del grafo che non sono nell'albero ricoprente $T$.

Nel caso del grafo cubo, un possibile albero ricoprente è quello che vedi in figura, con gli spigoli più scuri:

In questo caso specifico, come puoi facilmente osservare, il numero di spigoli dell'albero è $|T|=7$ e gli spigoli del grafo che non sono dell'albero (quindi le linee tratteggiate) sono invece $|E\T| = 5$.

In realtà si può dimostrare più semplicemente che $|E\T| = |E| - |V| + 1$, con $V$ numero di vertici.

Quindi nel grafo cubo noi abbiamo $|E|=12$ spigoli e $|V|=8$ vertici, per cui:

$ |E|-|T|= 12-8+1 = 5$

che era proprio quello che avevamo detto prima, ma calcolato in maniera decisamente più semplice.

Il gruppo fondamentale del grafo cubo è dunque il gruppo libero con 5 generatori $F_5$.

Puoi notare immediatamente che il grafo cubo ha infatti proprio 5 "buchi".

Noemi