Goniometria

Ti ho risposto nell'altra richiesta 🙂

Le intersezioni con l'asse y si trovano mettendo a sistema l'equazione dell'asse y, cioè x=0, con l'espressione analitica della funzione, e ciò equivale a sostituire "0" alla x.
Pertanto si ottiene:

$  a\cos0+2\sin\dfrac{\pi}{6}=3$

$ a+2\cdot \dfrac{1}{2}=3$

$a=2$

Dunque:

$f(x)=2\cos x+2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)$

$f(x)=2\cos x+\sqrt{3}\sin x+\cos x=$

$=\sqrt{3}\sin x+3\cos x$

Metodo dell'angolo aggiunto:

$r=\sqrt{a^2+b^2}=2\sqrt{3}$

$\alpha=\arctan{\dfrac{b}{a}}=\dfrac{\pi}{3}$

$f(x)=2\sqrt{3}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)$

In questo modo è agevole disegnare il grafico della funzione.

Vediamo ora il grafico del modulo di $f(x)$, che si ottiene ribaltando le parti del grafico di $f(x)$ che si trovano sotto l'asse $x$.

Notiamo che vi sono tre intersezioni (soluzioni) se $0\le k-4<3$, cioè se
$4\le k<7$ e quattro intersezioni (soluzioni) se $3\le k-4\le 2\sqrt{3}$, cioè se
$7\le k\le 2\sqrt{3}+4$