[Risolto] Geometra euclidea nello spazio

Nella figura allegata è mostrata la sezione del cono e della sfera. Dobbiamo quindi determinare l'altezza h del triangolo isoscele di figura.

Ci si è posti in una situazione opportuna riferendoci al centro degli assi cartesiani (x,y) i cui sarà posto il centro della sfera di raggio r=3 cm

Quindi: [0, β] saranno le coordinate del vertice del cono e riporto inizialmente il problema ad un o piano. Determino le tangenti alla circonferenza:

{x^2 + y^2 = 9

{y - β = m·x

procedo per sostituzione: y = m·x + β

x^2 + (m·x + β)^2 = 9----> x^2·(m^2 + 1) + 2·m·β·x + β^2 - 9 = 0

Δ/4 = 0 condizione di tangenza

(m·β)^2 - (m^2 + 1)·(β^2 - 9) = 0

9·m^2 - β^2 + 9 = 0 risolvo

m = - √(β^2 - 9)/3 ∨ m = √(β^2 - 9)/3

Quindi le due tangenti: 

y = β - x·√(β^2 - 9)/3  ed  y = x·√(β^2 - 9)/3 + β

L'altezza del cono è:

h = β + 3-----> β = h - 3

Dalla prima tangente, quella a pendenza negativa:

y = (h - 3) - x·√((h - 3)^2 - 9)/3

ottengo il raggio di base del cono dal sistema:

{y = - x·√(h·(h - 6))/3 + h - 3

{y = -3

che fornisce soluzione:

x = 3·√(h·(h - 6))/(h - 6) ∧ y = -3

V(cono) = 1/3·(pi·r^2)·h con r= x ottenuto:

V (cono) = 1/3·(pi·(3·√(h·(h - 6))/(6 - h))^2)·h

V(cono)=3·pi·h^2/(h - 6)

Il volume della sfera è:

V(sfera) = 4/3·pi·r^3 con r = 3 cm:

V(sfera)= 36·pi cm^3

Deve essere: 3·pi·h^2/(h - 6) = 25/12·36·pi

ottenendo due valori possibili di h:

h = 15 cm ∨ h = 10 cm