FUNZIONI

Suppongo che il nome 'x' denoti una variabile reale: x ∈ R.
Inizio dal fondo.
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D) Ammesso che y = f(x) sia una cubica, si tratta di un polinomio proporzionale al prodotto dei binomi dei tre zeri che determina i coefficienti {b, c, d} mentre il coefficiente direttore 'a' si determina dal vincolo d'appartenenza di (0, 2).
* (f(x) = y = a*(x - (- 1))*(x - 1)*(x - 4)) & (2 = a*(0 - (- 1))*(0 - 1)*(0 - 4)) ≡
≡ (a = 1/2) & (y = (x^3 - 4*x^2 - x + 4)/2)
da cui
* (a = 1/2) & (b = - 2) & (c = - 1/2) & (d = 2)
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A) y = 1/f(x) = 2/((x + 1)*(x - 1)*(x - 4))
è definita ∀ x ∈ R\{- 1, 1, 4}, escludendo gli zeri del denominatore.
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B) y = √(f(x)) = √((x^3 - 4*x^2 - x + 4)/2)
è definita ∀ x ∈ R, secondo la seguente distinzione di casi.
* per x < - 1, y ha valore immaginario positivo;
* per x = - 1, y = 0;
* per - 1 < x < 1, y ha valore reale positivo;
* per x = 1, y = 0;
* per 1 < x < 4, y ha valore immaginario positivo;
* per x = 4, y = 0;
* per x > 4, y ha valore reale positivo.
Quindi ha
* dominio: l'intero asse reale x
* codominio: i semiassi positivi del piano di Argand-Gauss compresa l'origine
* insieme di definizione: l'intero asse reale x
* insieme di definizione reale: (- 1 <= x <= 1) ∪ (x >= 4)
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C) y = 1/(f^2(x) - 9) = 1/((f(x) + 3)*(f(x) - 3)) =
= 1/(((x - (1 - √6))*(x - 2)*(x - (1 + √6))/2)*(x^3 - 4*x^2 - x - 2)/2) =
= 4/((x - (1 - √6))*(x - 2)*(x - (1 + √6))*(x^3 - 4*x^2 - x - 2))
quindi gli zeri reali del denominatore sono QUATTRO:
* 1 - √6 ~= - 1.4495
* 2
* 1 + √6 ~= 3.4495
* (4 + (109 - 9*√62)^(1/3) + (109 + 9*√62)^(1/3))/3 ~= 4.3369
quest'ultimo valore è il solo zero reale di x^3 - 4*x^2 - x - 2.