Frazione algebrica equivalente

Le frazioni sono equivalenti se $a \neq \pm 3$, infatti:

$\dfrac{a^2-9}{(a-3)^2}=\dfrac{(a+3)^2}{a^2-9}$

$\dfrac{(a+3)\cancel{(a-3)}}{(a-3)^{\cancel{2}}} = \dfrac{(a+3)^{\cancel{2}}}{\cancel{(a+3)}(a-3)}$

$\dfrac{a+3}{a-3}=\dfrac{a+3}{a-3}$

che chiaramente è vero, perchè se dividi per $\dfrac{a+3}{a-3}$ ottieni:

$1=1$.

a^2 - 9 = (a + 3) * (a - 3); prodotto notevole, differenza di quadrati.

la prima frazione diventa:

(a - 3) * (a + 3) /(a - 3)^2; si semplifica (a - 3), rimane:

(a + 3) / (a - 3);

la seconda:

(a + 3)^2 / [(a + 3) * (a - 3)] ; si semplifica (a + 3), rimane:

(a + 3) / (a - 3);

otteniamo la stessa frazione finale. Sono equivalenti.

a deve essere diverso da +3 e - 3, per non annullare il denominatore.

Ciao @barbaraiman

c. e. : a ≠ ±3 onde non annullare il denominatore 

a sinistra :

(a+3)(a-3) / (a-3)^2

(a+3)/(a-3)

a destra

(a+3)^2/(a+3)(a-3)

(a+3) / (a-3) 

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$\small \dfrac{a^2-9}{(a-3)^2} = \dfrac{(a+3)^2}{a^2-9}$ $\small \quad(C.E.: a\not=3\land\not=-3)$

$\small (a^2-9)·(a^2-9)= (a+3)^2·(a-3)^2$

$\small (a^2-9)^2= \left((a+3)·(a-3)\right)^2$

$\small (a^2-9)^2= \left(a^2-9\right)^2$

si tratta di un'identità, infatti:

$\small \cancel{(a^2-9)^2}-\cancel{ \left(a^2-9\right)^2} = 0$

$\small 0=0$

$\small a \in \mathbb{R}$