Flessi

Problema:

Individuare i punti di flesso della seguente funzione:

$y=-x(x-1)^2$

Soluzione:

Dato che la funzione è polinomiale e definita su tutto il continuo, non è necessario fare osservazioni preliminari circa la derivata. 

Le informazioni sul flesso sono contenute nella derivata seconda, quindi la si calcola tramite le solite tecniche:

$y'=-3x^2+4x-1$

$\ddot{y}=-6x+4$

Si studia il segno della derivata seconda:

$\ddot{y}≥0 \iff x≤\frac{2}{3}$.

Ciò significa che la concavità è rivolta verso l'alto prima di $x=\frac{2}{3}$ e rivolta verso il basso dopo $x=\frac{2}{3}$. Poiché vi è un cambio di verso della concavità e la derivata prima non si annulla in $x=\frac{2}{3}$, il flesso è obbliquo. 

Maggiori informazioni si possono ottenere studiando la derivata prima.

$y'≥0 \iff \frac{1}{3}≤x≤1$.

Dato che $\frac{2}{3} \in [\frac{1}{3}, 1]$, il flesso è discendente visto che in quell'intervallo la derivata prima è monotona crescente.

Aggiungo un prospetto sintetico sui flessi: