Esercizio trigonometria

$f(x)=x^2-5x+4$

Per trovare le rette tangenti deriviamo $f(x)$:

$f'(x)=2x-5$

$m_1=f'(2)=2\cdot 2 -5 = -1$

$m_2=f'(-3)= -3 \cdot 2 - 5 = -11$

Che sono i coefficienti angolari delle rette tangenti, in pratica sono anche le tangenti dell'angolo formato dalle rette con il semiasse positivo delle $x$ (perché se trasliamo $y=mx+q$ di un vettore $(0,-q)$ otteniamo $y=mx$ da cui $m=\frac{y}{x}$). Allora l'angolo compreso tra le due rette non è altro che l'arcotangente della differenza degli angoli. Detto $\gamma$ tale angolo $\tan(\gamma)=\tan(\alpha - \beta)= \dfrac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\tan(\beta)}=\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}$. Ricordiamo che $m_1=\tan(\alpha)$ e $m_2=\tan(\beta)$ senza perdita di generalità, quindi $\tan(\gamma) = \dfrac{-1+11}{1+ (-1)(-11)} = \dfrac{10}{12}=\dfrac{5}{6}$. Dato che $\tan(\gamma) >0$ possiamo essere sicuri che il valore che abbiamo trovato è la tangente dell'angolo acuto, quindi: $\gamma = \arctan(\frac{5}{6}) \approx 39.81^{\circ}$ con la calcolatrice.

Se non hai ancora studiato le derivate puoi trovare così le tangenti:

$\begin{cases} y= x^2-5x+4 \\ y=m(x-x_0)+y_0 \end{cases}$
$mx-mx_0+y_0=x^2-5x+4$

$x^2+(-5-m)x+4+mx_0-y_0=0$

Poni il discriminate  $\Delta = 0$:

$(-5-m)^2-4(4+mx_0-y_0)=0$

$m^2+10m+25 -16-4mx_0+4y_0=0$

$m^2+(10-4x_0)m+4y_0+9=0$

Se $x_0=2$ allora $y_0=2^2-5 \cdot 2 +4 =-2$

$m^2+(10-4 \cdot 2)m -4\cdot 2 +9=0$

$m^2+2m+1=0$

$(m+1)^2=0$

$m=-1$

Se $x_0=-3$ allora $y_0=(-3)^2-5(-3)+4=28$

$m^2+(10-4(-3))m+4\cdot 28 +9 =0$

$m^2+22m+121=0$

$(m+11)^2=0$

$m=-11$.

Al risultato finale però si perviene allo stesso modo.