[Risolto] Esercizio quadrato 1

Ciao @beppe

Intanto un disegno 

Scrivo la retta per A e B:

(y - 4)/(x + 1) = (1 - 4)/(1 + 1)-----> y = 5/2 - 3·x/2

Calcolo la distanza fra i due punti che coincide con il raggio r delle due circonferenze di figura:

r = √((1 + 1)^2 + (1 - 4)^2)-------> r = √13

La retta per A e B ha coefficiente angolare:

m = - 3/2

Una qualsiasi retta perpendicolare ad essa ha coefficiente angolare: m = 2/3

Scrivo le rette passanti per i due punti assegnati e perpendicolari alla retta AB

y - 4 = 2/3·(x + 1)-------> y = 2·x/3 + 14/3

Il generico punto di questa retta ha coordinate: [x, 2·x/3 + 14/3]

la retta per A e B ha equazione implicita: 3·x + 2·y - 5 = 0

Impongo al generico punto la distanza r calcolata sopra:

r = ABS(3·x + 2·(2·x/3 + 14/3) - 5)/√(3^2 + 2^2)

r = √13·ABS(x + 1)/3

elevo al quadrato: 13·(x + 1)^2/9 = 13

risolvo ed ottengo:

(x + 1)^2 = 9--------> x = -4 ∨ x = 2

quindi i primi due vertici:

[-4, 2·(-4)/3 + 14/3]---------> [-4, 2]

[2, 2·2/3 + 14/3]--------->[2, 6]

Procedo analogamente per gli altri due vertici

retta per B(1,1) perpendicolare retta AB:

y - 1 = 2/3·(x - 1)------> y = 2·x/3 + 1/3

Procedo come sopra:

[x, 2·x/3 + 1/3]

ABS(3·x + 2·(2·x/3 + 1/3) - 5)/√(3^2 + 2^2) = √13

13·(x - 1)^2/9 = 13------> x = 4 ∨ x = -2

quindi gli ultimi due vertici:

[4, 2·4/3 + 1/3]--------> [4, 3]

[-2, 2·(-2)/3 + 1/3]-------> [-2, -1]

IL PROBLEMA COSI' POSTO E' INDETERMINATO, come sancito dal doppio risultato atteso.
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I vertici A(- 1, 4) e B(1, 1) sono dati.
Il segmento AB è lungo quanto il lato L = |AB| = √13 del quadrato e giace sulla retta AB ≡ y = (5 - 3*x)/2 di pendenza m = - 3/2.
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Il segmento CD deve giacere su una parallela y = (p - 3*x)/2 a distanza |p - 5|/√13 = L, da cui
* |p - 5|/√13 = √13 ≡ (p = - 8) oppure (p = 18)
cioè AB dev'essere l'asse della striscia fra le due rette
* y = (- 8 - 3*x)/2
* y = (18 - 3*x)/2
cioè ancora dev'essere l'asse di simmetria della parabola degenere
* Γ1 ≡ (3*x + 2*y)^2 - 30*x - 20*y - 144 = 0
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Una seconda parabola degenere Γ2 è quella formata dalle due normali ad AB per A e B.
Con la pendenza antinversa m' = - 1/m = 2/3 si ha il fascio improprio delle normali
* n(q) ≡ y = (q + 2*x)/3
fra le quali
* n(14) ≡ y = (14 + 2*x)/3 passa per A
* n(1) ≡ y = (1 + 2*x)/3 passa per B
da cui
* Γ2 ≡ (2*x - 3*y)^2 + 30*x - 45*y + 14 = 0
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Le due coppie CD sono le intersezioni
* Γ1 & Γ2 ≡ ((3*x + 2*y)^2 - 30*x - 20*y - 144 = 0) & ((2*x - 3*y)^2 + 30*x - 45*y + 14 = 0) ≡
≡ http://www.wolframalpha.com/input?i=%28%283*x%2B2*y%29%5E2-30*x-20*y-144%3D0%29%26%28%282*x-3*y%29%5E2%2B30*x-45*y%2B14%3D0%29