Esercizio punto di accumulazione

Problema:

Verifica che il punto $x_0$ scritto a fianco all'insieme dato è un punto di accumulazione per l'insieme. 

$D=\{x: x=3-\frac{1}{n}, n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \}$, $x_0=3$.

Soluzione:

$x_0$ è un punto di accumulazione per $D$ se $B_\epsilon (x_0) \cap (D \setminus \{x_0\}) \neq \emptyset$. Ciò significa che presa una qualsiasi palla di centro $x_0$, questa conterrà sempre un punto di $D$ vicino a $x_0$.

Esplicitando $D$ si ha $D=\{2, \frac{3}{2}, \frac{8}{3}, \frac{11}{4}, ...\}$, si può notare che i numeri crescono fino a quando per $n \to +\infty$ si avvicinano a $3$.

Si deve verificare se è possibile risolvere la seguente scomposizione per ogni $\epsilon > 0$:

$3 - \epsilon < 3 - \frac{1}{n} < 3 + \epsilon$

$-\epsilon < -\frac{1}{n} < \epsilon$

Poiché $n$ è un numero naturale positivo, $-\frac{1}{n}$ è sempre minore di $\epsilon$ ( positivo). La condizione restrittiva è quella di sinistra:
$-\epsilon < -\frac{1}{n}$

$n > \frac{1}{\epsilon}$

Per la proprietà archimedea dei reali, per qualsiasi valore di $\epsilon$ piccolo a piacere, esiste sempre un numero naturale $n$ tale che $n > \frac{1}{\epsilon}$.

Quindi, per ogni $\epsilon > 0$, esiste un punto $x_n = 3 - \frac{1}{n}$ appartenente a $D$ tale che $x_n$ cade nell'intorno di $3$. Inoltre, poiché $3 - \frac{1}{n}$ non è mai uguale a $3$ per nessun $n$ naturale, il punto trovato è sempre distinto da $x_0$.

Si deve dimostrare che dato un δ > 0 esistono infiniti elementi dell'insieme D

$ D = \{x : x = 3 - \frac{1}{n} ; n \in \mathbb{N} \setminus\{0\} \} $

compresi nell'intervallo (3-δ, 3+δ).

Esprimiamolo in termini algebrici 

$3-δ <  3 - \frac{1}{n} < 3+δ $ 

i) La seconda disequazione è banale visto che 
     -) $3+δ$ è un termine maggiore di 3
     -) $3-\frac{1}{n} $ è un termine inferiore a 3 per ogni valore di n naturale.

ii) La prima disequazione ha infinite soluzioni
$3-δ <  3 - \frac{1}{n} $

$ -δ <  - \frac{1}{n} $     moltiplichiamo per -1 ambo i membri

$  \frac{1}{n} < δ $

$ n > \frac{1}{δ} $  che risulta verificata per ogni numero naturale maggiore di 1/δ. Cioè infiniti valori.

x = 3 è un punto di accumulazione per D