[Risolto] esercizio numero complesso

Con a e b numeri reali:

(a + b·i)^2 +(a + b·i)·(a - b·i) = 1 + i

con i^2=-1 ed i = unità immaginaria

(a^2 - b^2 + 2·i·a·b) + (a^2 + b^2) = 1 + i

2·a^2 + 2·i·a·b = 1 + i

Sistema:

{2·a^2 = 1

{2·a·b = 1

quindi: [a = √2/2 ∧ b = √2/2 ; a = - √2/2 ∧ b = - √2/2]

Ora 2a^2 = 1

e 2ab = 1

a^2 = 1/2

a = +- rad(2)/2

b = 1/(2a) = +- rad(2)/2

deve essere concorde con a

quindi z1 = rad(2)/2 + i rad(2)/2

z2 = -z1

NOMENCLATURA
* x, y, ρ, θ reali
* ρ > 0
* 0 <= θ < 2*π
* z = x + i*y = ρ * e^(i*θ) = ρ * (cos(θ) + i*sen(θ))
* z' = x - i*y
* |z| = ρ = |x + i*y| = √(z*z') = √(x^2 + y^2)
* [x < 0] θ = π + arctg(y/x)
* [x = 0] θ = π/2
* [x > 0] θ = arctg(y/x)
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EQUAZIONE
* z^2 + z*z' = 1 + i ≡
≡ z^2 + z*z' = z*(z + z') = z*(2*x) = 2*x*(x - i*y) = (2*x^2 - i*2*x*y) = 1 + i ≡
≡ x^2 - i*x*y = (1 + i)/2
poiché il secondo membro ha modulo 1/√2 e anomalia π/4, così dev'essere per il primo membro, vincolato a cadere, nel piano di Argand-Gauss, sulla circonferenza
* x^2 + y^2 = 1/2
nel primo quadrante, con Re[x^2 - i*x*y] = Im[x^2 - i*x*y] = 1/2
cioè
* x^2 = x*y = 1/2 ≡ x = y = 1/√2
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VERIFICA
http://www.wolframalpha.com/input?i=simplify%281%2F%E2%88%9A2%2Bi%2F%E2%88%9A2%29%5E2%2B%281%2F%E2%88%9A2%2Bi%2F%E2%88%9A2%29*%281%2F%E2%88%9A2-i%2F%E2%88%9A2%29