Dalla matematica alla fisica
Considera l'ellisse rappresentata in figura. É noto che il semiasse maggiore dell'ellisse misura $a$ e che la distanza tra il fuoco $F_2$ di ascissa positiva e il vertice $A_2$ di ascissa positiva è $d$.
a. Verifica che l'equazione dell'ellisse è $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{2 a d-d^2}=1$. Qual è l'eccentricità di tale ellisse? Qual è l'equazione della retta tangente all'ellisse nel suo punto $P$ del primo quadrante avente ascissa uguale a quella del fuoco $F_2$ ? Esprimi l'eccentricità e l'equazione della retta tangente in funzione dei parametri $a$ e $d$.
b. Dimostra che, per una qualsiasi ellisse di eccentricità $e$, il rapporto $\frac{F_2 A_2}{F_2 A_1}$ è uguale a $\frac{1-e}{1+e}$.
Il pianeta Marte si muove intorno al Sole seguendo una traiettoria ellittica, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi: il periodo di rivoluzione del pianeta è di 687 giorni e la distanza del perielio dal Sole è di $2,07 \cdot 10^8 \mathrm{~km}$.
c. Esprimi, in secondi, il periodo $T$ di rivoluzione di Marte intorno al Sole e calcola la lunghezza del semiasse maggiore dell'ellisse descritta da Marte nel suo moto di rivoluzione intorno al Sole. Qual è l'eccentricità dell'orbita di Marte? Sarebbe lecito approssimare la traiettoria di Marte con una circonferenza? Scrivi l'equazione cartesiana della traiettoria di Marte in un sistema di riferimento cartesiano come quello in figura, in cui l'origine coincide con il punto di intersezione degli assi dell'ellisse, il Sole corrisponde a un punto posto sul semiasse delle ascisse positive e l'unita di misura sui due assi è il metro.
d. Calcola il rapporto tra la velocità minima e la velocità massima di Marte nel suo moto di rivoluzione intorno al Sole, giustificando il procedimento.
Salve, qualcuno puó risolvere questo esercizio?
grazie in anticipo
