Esercizio funzione

Question

Considera la funzione f(x)= frac {a x^2+1}{x^2+b x+1}. Determina per quali valori di a e b la funzione è priva di asintoti verticali e ammette come asintoto orizzontale l'asse x. [attach]32747[/attach] Buongiorno, non riesco a risolvere questo esercizio, sono riuscito a calcolarmi a che è uguale a 0 (a=0) ma non riesco a trovare B sapendo che non ci sono asintoti verticali... [attach]32748[/attach] Lo so che facendo così c'è l'asintoto verticale, quindi affinché non ci sia, il limite non deve risultare infinito, quindi ho pensato di porre il denominatore diverso da 0.. Perché se fosse 0 verrebbe 1/0 = infinito , però non lo so...

StefanoPescetto · Accepted Answer

Dato allora per fatto il calcolo del parametro a,  verifichiamo i valori di b per i quali la funzione non ha asintoti verticali. La condizione richiesta risulta verificata se: x² + bx - 2 ≠ 0    Vx€R   Cio implica che il discriminante dell'equazione di secondo grado sia minore di zero.   D= b² - 4 < 0 (b+2)(b-2) < 0   Quindi: - 2 < b < 2

LucianoP · Answer

@alessio_maggiacomo

Ciao e benvenuto.

y = (a·x^2 + 1)/(x^2 + b·x + 1)

Il denominatore non deve avere radici reali quindi:

Δ < 0 : b^2 - 4 < 0-----> -2 < b < 2

Poi,essendo:

LIM((a·x^2 + 1)/(x^2 + b·x + 1)) = a

x---->+/- ∞

deve essere a=0

Quindi la funzione richiesta diventa:

y = 1/(x^2 + b·x + 1) con -2<b<2

https://www.geogebra.org/m/v47za7rq

LucianoP

(@lucianop)

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29/12/2022 11:19

exProf · Answer

La funzione razionale fratta* f(x) = N(x)/D(x)con numeratore e denominatore parigrado ha* asintoto orizzontale y = rapporto fra i coefficienti direttori* asintoti verticali x = uno zero del denominatore---------------NEL CASO IN ESAME* f(x) = (a*x^2 + 1)/(x^2 + b*x + 1)si ha* asintoto orizzontale y = a/1 = a* asintoti verticali x = (- b ± √(b^2 - 4))/2CONDIZIONI* "la funzione è priva di asintoti verticali" ≡ b^2 - 4 < 0 ≡ - 2 < b < 2* "la funzione ammette come asintoto orizzontale l'asse x" ≡ y = a = 0RISPOSTA ALLA CONSEGNA"Determina per quali valori di a e b ..."* (a = 0) & (- 2 < b < 2)da cui* (f(x) = 1/(x^2 + b*x + 1)) & (- 2 < b < 2)

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