Determinare le misure dei lati di un triangolo rettangolo di perimetro P e area S.
Quale relazione algebrica deve valere fra P e S affinché esista tale triangolo ?
Buon divertimento.
Determinare le misure dei lati di un triangolo rettangolo di perimetro P e area S.
Quale relazione algebrica deve valere fra P e S affinché esista tale triangolo ?
Buon divertimento.
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Livello 7
@eidosm .....4S(1-1/y) = 2y
Ciao e buona sera, anche se a quest'ora posso solamente dire buonanotte.
Sarà forse l'ora, ma credo che per risolvere un triangolo rettangolo non basti conoscere solo P ed s
ma credo che tu debba conoscere anche la somma dei due cateti.
Quello che si può dire è che dati nell'ordine x,y,z le misure dei cateti e dell'ipotenusa, l'unica relazione che sono riuscito ad ottenere è:
Ρ - (x + y) = √((x + y)^2 - 4·s)
Sai tu forse la soluzione?
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Quindi, mi confermi che non bastano P ed S ma bisogna conoscere anche la somma dei cateti?
Esempio:
In un triangolo rettangolo sono noti:
x+y= somma dei cateti=17 cm; P=perimetro=30 cm; S=30 cm^2.
A questo punto risolviamo il sistema simmetrico:
{x^2 + y^2 = (30 - 17)^2
{x·y = 2·30
otteniamo:
[x = 5 ∧ y = 12, x = -5 ∧ y = -12, x = 12 ∧ y = 5, x = -12 ∧ y = -5]
risultati in grassetto in cm
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Genius III
Risolvi il sistema simmetrico
x^2 + y^2 = (P - x - y)^2
xy = 2 S
e la somma dei cateti puoi ricavarla per via. Buona notte anche a te.
Se x, y sono i cateti allora
{ x2 + y2 = (P - x - y)2
{ xy = 2S
da cui
x^2 + y^2 = P^2 + x^2 + y^2 - 2 Px - 2 Py + 2 xy
P^2 - 2 P ( x + y ) + 4 S = 0
x + y = (P^2 + 4 S)/(2 P)
il sistema simmetrico fondamentale
{ x + y = (P^2 + 4 S)/(2 P)
{ x y = 2S
ha per risolvente
t2 - (P^2 + 4 S)/(2 P) + 2 S = 0
per la quale deve risultare Delta >= 0
Quindi
x,y = [(P^2 + 4 S)/(2P) +- rad ((P^2 + 4 S)^2/(4 P^2) - 8 S )]/2
e si sdoppia in
x = 1/(4P) * [ P^2 + 4 S - rad (P^4 + 8 S P^2 - 32 S P^2 + 16 S^2) ]
y = 1/(4P) * [ P^2 + 4 S è rad (P^4 + 8 S P^2 - 32 S P^2 + 16 S^2) ]
fornendo così le misure dei cateti a condizione che sia
P^4 - 24 S P^2 + 16 S^2 >= 0
P^4/S^2 - 24 P^2/S + 16 >= 0
e posto u = P^2/S
u^2 - 24 u + 16 >= 0, u >= 0
u = 12 +- rad (144 - 16) = 12 +- 8 rad(2)
per cui i dati P e S sono consistenti se P^2/S
é compreso fra 0 e 4 ( 3 - 2 rad(2)) oppure é maggiore di 4(3 + 2 rad(2)).
Con i tuoi dati
octave:1> P = 30 P = 30 octave:2> S = 30 S = 30 octave:3> x = ((P^2 + 4*S) - sqrt(P^4 - 24*P^2*S + 16*S^2))/(4*P) x = 5 octave:4> y = ((P^2 + 4*S) + sqrt(P^4 - 24*P^2*S + 16*S^2))/(4*P) y = 12
Nel triangolo rettangolo di lati
* 0 < a <= b < c = √(a^2 + b^2)
si ha
* perimetro P = a + b + c = a + b + √(a^2 + b^2) > 0
* area S = a*b/2
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"Quale relazione deve valere fra P e S?"
Quella che risulta dal sistema delle tre relazioni scritte
* (0 < a <= b < √(a^2 + b^2)) & (P = a + b + √(a^2 + b^2) > 0) & (S = a*b/2) ≡
≡ 0 < S <= (3 - 2*√2)*(P/2)^2
con i cateti
a = ((P^2 + 4*S) - √((P^2 + 4*S)^2 - 32*S*P^2))/(4*P)
b = ((P^2 + 4*S) + √((P^2 + 4*S)^2 - 32*S*P^2))/(4*P)
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Genius I
@exprof i valori di a e b sono esatti, devo verificare le condizioni di compatibilità