Esercizio di algebra lineare

equazione cartesiana

ax + by + cz = 0

con a + 2b + c = 0 e b + c = 0

b = -c e a = -2b - c = 2c - c = c

posto c = 1, a = 1 e b = -1

x - y + z = 0

e 3 - 5 + 2 = 0

v1 e v2 non sono proporzionali quindi sono una

base di un sottospazio di R^3 che ha dimensione 2.

Componenti di u rispetto a A : le chiamo x e y

x (1 2 1) + y(0 1 1) = (3 5 2)

x = 3
2x + y = 5
x + y = 2

per cui y = - 1

e u = 3 v1 - v2

Andiamo con v : risulta 1-2-1 = -2 =/= 0

e quindi v non é in L [v1, v2 ]

pertanto (v1,v2,v) sono tre vettori

indipendenti ( puoi provare col determinante ) e L(v1,v2,v) = R^3.

Senza fare calcoli le componenti di u rispetto a B

dovrebbero essere (3, -1, 0) in quanto

u = 3 v1 - v2 = 3v1 - v2 + 0 v

Mi pare che «Sia V lo spazio vettoriale L(v1,v2)» affermi una falsità.
Per parlare di spazio vettoriale un tempo era necessario che una combinazione lineare non banale dei generatori producesse il vettore nullo.
O sono rimbambito più del dovuto o sono cambiate le definizioni: entrambe le cose a mia insaputa, e in entrambi i casi chiedo scusa; però la mia perplessità la esprimo egualmente.
Il sistema
* (x*v1 + y*v2 = (0, 0, 0)) & (|x| + |y| > 0) ≡
≡ (x = 0) & (2*x + y = 0) & (x + y = 0) & (|x| + |y| > 0)
non ha l'aria di avere soluzione non banale.
Ho capito male qualche cosa?