Esercizio con integrali con sostituzione e integrazione per parti

1) L'integrale di cos(x)  è sen(x);      la derivata di cos(x) è   - sen(x)

∫ [cos^2(x)] dx = ∫ [cos x * cos x] dx;  

per parti:

∫ [cos(x) cos(x)] dx = sen(x)cos(x) - ∫ [- sen (x) * sen (x)] dx =

= sen(x) cos(x) +  ∫[sen(x)^2] dx =

= sen(x) cos(x) +  ∫[1 - cos^2(x)] dx;     (ritorna ∫ [cos^2(x)] dx); 

∫ [cos^2(x)] dx  = sen(x) cos(x) + x - ∫ [cos^2(x)] dx;

Quindi portando a sinistra dell'uguale ∫ [cos^2(x)] dx otteniamo:

2 ∫ [cos^2(x)] dx = x + sen x cos x + C;

dividendo per 2:

∫ [cos^2(x)] dx = 1/2 [x + sen(x) cos(x)] + C.

Secondo modo: cos(x/2) = radice[(1 + cos x) / 2];

cos^2(x/2) =[(1 + cos x) / 2];

∫ cos^2 (x) dx = ∫ 1/2 * [1 + cos(2x)] dx = 1/2 ∫1 dx + 1/2 ∫ [cos(2x)] dx =

= 1/2 (x) + 1/2 [sen(2x)/2 ] + C;

ricorda che sen(2x) = 2 sen(x) cos(x);

∫ cos^2 (x) dx  = 1/2 (x) + 1/2 [2 sen x cos x / 2] + C =

= 1/2 [x + sen x cos x] + C.

Ciao @katie

1)

S cos^2(x) dx

S cos x cos x dx = cos x sin x - S - sin x * sin x dx =

= sin x cos x + S (1 - cos^2 (x) ) dx =

= sin x cos x + x - S cos^2(x) dx

Da qui

2 S cos^2(x) dx = x + sin x cos x + C

e infine

S cos^2(x) dx = ( x + sin x cos x)/2 + C

2)

S cos^2(x) dx =

= S 1/2 * (1 + cos (2x) ) dx =

= 1/2 ( x + sin(2x)/2 ) + C =

= 1/2 (x + sin x cos x ) + C

Soluzione breve

Soluzione estesa