Esercizio

Problema:

Sia $P_3$ lo spazio vettoriale dei polinomi di grado $3$. Sia $W=\{ x^2, 2x+x^2, x+x^3\}$. Dire se $x-x^3$ appartiene a $W$.

Soluzione:

Rivedi i conti.

Quando non si sa come affrontare un problema è necessario traslarlo in un ambiente familiare, conviene quindi passare dai polinomi ai vettori. 

Una base per $P_3$ è $(1, x, x^2, x^3)$, questa può essere espressa in un mondo vettoriale come $((1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0),(0,0,0,1))$, a patto che si traducano i risultati, è ora possibile utilizzare gli strumenti dell'algebra dei vettori per risolvere il problema.

Lo spazio $W$ ha come generatore e base l'insieme $((0,0,1,0),(0,2,2,0),(0,1,0,1))$. Nel nostro mondo vale che $x-x^3 \equiv (0,1,0,-1)$, bisogna quindi trovare $a,b,c \in \mathbb{R}$ tali che $a(0,0,1,0)+b(0,2,2,0)+c(0,1,0,1)=(0,1,0,-1)$

Tramite Gauss si ottiene che $(a,b,c)=(-2,1,-1)$, infatti $-2(x^2)+1(2x+2x^2)-1(x+x^3)=-2x^2+2x+2x^2-x-x^3=x-x^3$.

Alternativamente puoi notare che inserendo in una matrice i vettori colonna della base di $W$ e quello corrispondente a $x-x^3$, il rango non varia. Ciò significa che vi sono solamente 3 vettori linearmente indipendenti e che il quarto è combinazione lineare degli altri. 

Nota: questo esercizio poteva essere risolto anche senza passare al mondo dei vettori, ho preferito utilizzare questo metodo perché si adatta anche ad esercizi più complessi come quelli riguardanti gli spazi di matrici.