Esame di Probabilità I - Esercizio 1

Per affrontare il cuore dell'esercizio si deve usare la distribuzione multinomiale.

Posto k1 + k2 + k3 + k4 = 3 

Pr [k1 k2 k3 k4] = 3!/(k1!k2!k3!k4!) *( 1/6)^k1 * (2/6)^k2 * (2/6)^k3 * (1/6)^k4

e i valori dovrebbero essere 

3000      1/216

2100       6/216

2010       6/216

2001       3/216

1200      12/216

1020      12/216

1002       3/216

1110      24/216

1101      12/216

1011      12/216

0300       8/216

0210      24/216

0201      12/216

0111      24/216

0120      24/216

0102      6/216

0030      8/216

0021      12/216

0012       6/216

0003       1/216

Sei in grado di farlo ? 

Pr [X1 = 2 ] = Pr [ escono due 1 e un  non1 ] = C(3,1) *(1/6)^2 *(5/6)^1 = 5/72

Pr [X2 + X3 = 2 ] = Pr [k1,0,2,k4] + Pr [k1,1,1,k4] + Pr [k1,2,0,k4] 

Qui k1 + k4 = 1 e quindi devi scegliere gli eventi in cui accade questo e sommarne le probabilità.

A me risulta   (12 + 12 + 24 + 12 + 24 + 12)/216 = 96/216 = 4/9

3) Leggendo sulla tabella 

Pr [ X1 = 1 | X1 + X4 = 2 ] = Pr [ X1 = 1 & X4 = 1 ]/Pr [X1 + X4 = 2] = 

= (6 + 6)/(6 + 6 + 12 + 12 + 6 + 6) = 12/48 = 1/4 

4) La covarianza 

X1 + X2 + X3        X4 

         3                  0                  1+6+6+12+12+24+8+24+24+8 = 125

         2                  1                  3+12+12+12+24+12 = 75

         1                  2                  3+6+6 = 15

         0                  3                   1 

media del prodotto (0 * 125/216 + 2 * 75/216 + 2 * 15/216 + 0*1/216) = 180/216 = 5/6 

Prodotto delle medie    [ 3*125/216 + 2*75/216 + 1*15/216 ] * [ 1*75/216 + 2*15/216 + 3*1/216 ] =

= 540/216 * 108/216 = 5/2*1/2 = 5/4 

cov (X1 + X2 + X3) = 5/6 - 5/4 = (10 - 15)/12 = -5/12

Cenno all'ultima parte. 

La distribuzione di N é geometrica 

Pr [ N = n ] = (5/6)^(n-1) * 1/6 

In n lanci il numero di 5, Y4, può variare fino a n-1 perché l'ultimo é 1

Pr [ Y4 = h ] = C(n-1,h) (1/6)^h * (5/6)^(n-1-h).

Così Y4 _ N = n é una binomiale di parametri n-1 e 1/6 e la sua media 

é (n-1)/6

Pertanto la media di Y4 dovrebbe essere 

Somma_n:1->oo  (n-1)/6 * 1/6 *(5/6)^(n-1) = Somma_m:0->oo 1/36 m *(5/6)^m.

Ricordando che 

Somma_n:0->oo  n b^n = b Somma_n:0->oo n b^(n-1) = 

= b Somma_n:0->oo  d/db b^n = b d/db Somma_n:0->oo b^n = 

= b d/db 1/(1 - b) = b * -(-1)/(1-b)^2 = b/(1 - b)^2 

otteniamo 1/36 * 5/6 : (1 -  5/6)^2 = 5/6 e spero che sia corretto.