es 240 241 242

Per prima cosa la foto va rimessa in ordine.

Nessuno può farsi venire il torcicollo per risolvere un problema.

Poi in un post può andare un solo esercizio, gli altri necessitano dell'apertura

di discussioni indipendenti.

Così dice il regolamento.

Risolvo solo il primo esercizio, perché come ha già puntualizzato @eidosm dovresti allegarne solo uno e nella giusta orientazione come da regolamento.

240:

 Le prime due disuguaglianze del sistema rappresentano tutti i punti all'interno delle concavità di due parabole con asse parallelo all'asse $x$ (il loro asse è proprio l'asse $x$), mentre la terza uguaglianza ci impone di limitarci solo nel primo e nel secondo quadrante.

Nota che $x_A=x_{A'}$ e $x_B=x_{B'}$ perché sono le loro proiezioni sull'asse $x$, quindi $\overline{AB} \cong \overline{A'B'}$, e $\overline{AA'} \cong \overline{BB'}$, perché il poligono è un parallelogramma. Dato che il poligono è anche un quadrato avremo che $\overline{AB} \cong \overline{AA'}$, quindi $x_B-x_A=y_A$ perché la lunghezza di $\overline{AB}$ è chiaramente $x_B-x_A$ dato che è parallelo all'asse $x$, la lunghezza di $\overline{AA'}$ è $y_A$ perché $A$ e $A'$ appartengono alla stessa parallela all'asse $y$, quindi la lunghezza è la differenza fra le loro ordinate $y_A-0=y_A$.

Per risolvere, ricaviamo $x_B$ e $x_A$ in funzione di $y_A$ dalle equazioni delle parabole sfruttando il fatto che $y_A=y_B$:

$x_A=y_A^2+2$

$x_B=-\frac{1}{4}y_A^2+4$

allora abbiamo $-\frac{1}{4}y_A^2+4-y_A^2-2=y_A$

semplifichiamo e otteniamo $5y_A^2+4y_A-8=0$ che ammette come soluzioni $y_A=\frac{-4\pm 4\sqrt{11}}{10}=\frac{-2\pm 2\sqrt{11}}{5}$, ricorda che il sistema impone che $y \geq 0$, quindi l'unica soluzione valida è $y_A=\frac{2\sqrt{11}-2}{5}$, la retta che stiamo cercando ha equazione $y=y_A$ quindi $y=\frac{2\sqrt{11}-2}{5}$.

Ecco un embed del grafico se fossi curioso di vederlo (la zona colorata in arancione rappresenta la soluzione al sistema):

https://www.sosmatematica.it/regolamento/

Leggilo per bene!