Data una semicirconferenza di diametro $A B$ e raggio $r$, sia $B C$ la corda di misura $r \sqrt{2}$. Determina un punto $P$, sullarco $\overparen{B C}$, in modo che risulti $\overline{P H}+\overline{P K}=\frac{\sqrt{2}}{2} r$, essendo $H$ e $K$ le proiezioni di $P$, rispettivamente, sulla corda $B C$ e sulla retta $A C$. [Ponendo $P \widehat{A} B=x$ si giunge all'equazione $\cos 2 x=\frac{1}{2}$; il problema ha una sola soluzione: $x=\frac{\pi}{6}$ ] 000
Potreste svolgerlo, grazie!
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Livello 1
La corda BC sottende un angolo alla circonferenza di 45°. Il triangolo BAC è rettangolo isoscele
PAB= x => 0<=x<=45°
Risulta:
PB=2r*sin x (ipotenusa triangolo PHB)
PA=2r*cos x (ipotenusa triangolo PKA)
Quindi:
PH=PB*sin(pi/4 - x)
PK=PA*sin(pi/4 - x)
Imponendo la condizione richiesta si ricava
2*sin(pi/4 - x) *(sin x + cos x) = radice (2)/2
cos²x - sin²x = 1/2
cos(2x)= 1/2
Tenuto conto del vincolo geometrico su x la soluzione, unica, è: x=pi/6
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Genius II
