Problema:
Si vogliono produrre due particelle dette \( K^- \) (kappa-meno) e \( \Sigma^+ \) (sigma-più) con una collisione tra un pione negativo \( \pi^- \) e un protone.
Le masse delle particelle sono:
\[
\begin{aligned}
m_K &= 8{,}78 \cdot 10^{-28} \, \text{kg} \\
m_\Sigma &= 2{,}114 \cdot 10^{-27} \, \text{kg} \\
m_\pi &= 2{,}49 \cdot 10^{-28} \, \text{kg} \\
m_p &= 1{,}673 \cdot 10^{-27} \, \text{kg}
\end{aligned}
\]
Assumi che la collisione avvenga mandando un fascio di pioni contro un bersaglio di protoni fermi.
Assumi che le particelle prodotte siano ferme e calcola, in funzione di \( c \), la minima velocità dei pioni che dà luogo alla produzione dei due mesoni.
Soluzione:
Attendere conferma di correttezza.
Dal momento che il protone è inizialmente fermo e i prodotti finali della reazione sono anch'essi fermi, si può applicare la relazione di conservazione dell'energia relativistica.
L'energia totale iniziale è data dalla somma dell'energia relativistica del pione e dell'energia a riposo del protone:
\[
E_{\text{i}} = \gamma_\pi m_\pi c^2 + m_p c^2
\]
L’energia finale consiste soltanto nell’energia a riposo delle due particelle prodotte, dato che sono ferme:
\[
E_{\text{f}} = (m_K + m_\Sigma)c^2
\]
Eguagliando energia iniziale e finale:
\[
\gamma_\pi m_\pi c^2 + m_p c^2 = (m_K + m_\Sigma)c^2
\]
Dividendo entrambi i membri per \( c^2 \neq 0 \):
\[
\gamma_\pi m_\pi + m_p = m_K + m_\Sigma
\]
Da cui si ricava:
\[
\gamma_\pi = \frac{m_K + m_\Sigma - m_p}{m_\pi}
\]
Questo valore di \( \gamma_\pi \) rappresenta il fattore relativistico minimo che deve avere il pione affinché l’energia totale disponibile sia sufficiente a produrre le due nuove particelle a riposo.
Sostituendo i valori numerici:
\[
\gamma_\pi = \frac{8{,}78 \cdot 10^{-28}\text{kg} + 2{,}114 \cdot 10^{-27}\text{kg} - 1{,}673 \cdot 10^{-27} \text{kg}}{2{,}49 \cdot 10^{-28} \text{kg}}
\]
\[
\gamma_\pi = \frac{13{,}19 \cdot 10^{-28} \text{kg}}{2{,}49 \cdot 10^{-28} \text{kg}} \approx 5{,}296
\]
Si ricava la velocità \( v_\pi \) a partire da \( \gamma_\pi \), usando la relazione:
\[
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}
\quad \Rightarrow \quad
\frac{v}{c} = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}
\]
\[
\frac{v_\pi}{c} = \sqrt{1 - \frac{1}{(5{,}296)^2}} \approx \sqrt{1 - \frac{1}{28{,}05}} \approx \sqrt{0{,}9644} \approx 0{,}9821
\]
La velocità minima del pione per innescare la produzione di un \( K^- \) e un \( \Sigma^+ \), entrambi a riposo, è:
\[
v_\pi \geq 0{,}9821 \cdot c
\]
Circa il $98{,}21\%$ della velocità della luce.
