Ciao, vi propongo queste tre equazioni logaritmiche:
- $log(9x-1)-1=0$
- $log(\frac{x+7}{x})-4=0$
- $log(x+5)-log(2x+1)=0$
grazie.
Ciao, vi propongo queste tre equazioni logaritmiche:
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Livello 3
In completo disaccordo con buona parte dei miei ex colleghi che insegna(va)no Matematica sostengo che la condizione di esistenza del logaritmo naturale di variabile reale [ln(u)] NON E AFFATTO "u > 0", ma solo "u != 0".
Mi conforta in tale convinzione il parere di Eulero che, condividendola, scoprì (~ 1748) quella che chiamò "Formula del Diavolo": e^(i*π) = - 1.
E' solo quando occorre che la funzione logaritmo abbia valori reali (p.es. nelle disequazioni con diseguaglianza d'ordine) che si deve usare la condizione "u > 0": ma un'equazione può benissimo essere soddisfatta da valori negativi della variabile.
Non accetto l'obiezione che "Il programma non comprende i complessi": mica vuol dire che nemmeno li si possa nominare, solo che trattarli non è necessario.
Altrimenti non si dovrebbero neanche nominare il traffico o la sveglia quando si fa ritardo, sono fuori programma!
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Nelle equazioni proposte
1) ln(9*x - 1) - 1 = 0
2) ln((x + 7)/x) - 4 = 0
3) ln(x + 5) - ln(2*x + 1) = 0
il mio primo passaggio è quindi il seguente.
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A) Imporre le restrizioni derivanti dalle condizioni d'esistenza e isolare un logaritmo.
1) ln(9*x - 1) - 1 = 0 ≡ (9*x - 1 != 0) & (ln(9*x - 1) = 1)
2) ln((x + 7)/x) - 4 = 0 ≡ (x != 0) & (x + 7 != 0) & (ln((x + 7)/x) = 4)
3) ln(x + 5) - ln(2*x + 1) = 0 ≡ (x + 5 != 0) & (2*x + 1 != 0) & (ln(x + 5) = ln(2*x + 1))
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B) Applicare la monotonicità della funzione logaritmo esponenziando membro a membro, per ricavare equazioni algebriche da quelle trascendenti.
1) (9*x - 1 != 0) & (ln(9*x - 1) = 1) ≡
≡ (x != 1/9) & (e^ln(9*x - 1) = e^1) ≡
≡ (x != 1/9) & (9*x - 1 = e)
2) (x != 0) & (x + 7 != 0) & (ln((x + 7)/x) = 4) ≡
≡ (x != 0) & (x != - 7) & (e^ln((x + 7)/x) = e^4) ≡
≡ (x != 0) & (x != - 7) & ((x + 7)/x = e^4)
3) (x + 5 != 0) & (2*x + 1 != 0) & (ln(x + 5) = ln(2*x + 1)) ≡
≡ (x != - 5) & (x != - 1/2) & (e^ln(x + 5) = e^ln(2*x + 1)) ≡
≡ (x != - 5) & (x != - 1/2) & (x + 5 = 2*x + 1)
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C) Risolvere le equazioni algebriche e applicare le restrizioni ai risultati.
1) (x != 1/9) & (9*x - 1 = e) ≡ (x != 1/9) & (x = (1 + e)/9) ≡ x = (1 + e)/9
2) (x != 0) & (x != - 7) & ((x + 7)/x = e^4) ≡ (x != 0) & (x != - 7) & (x = 7/(e^4 - 1)) ≡ x = 7/(e^4 - 1)
3) (x != - 5) & (x != - 1/2) & (x + 5 = 2*x + 1) ≡ (x != - 5) & (x != - 1/2) & (x = 4) ≡ x = 4
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D) Verificare con altri mezzi.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%7Bln%289*x-1%29-1%3D0+or+ln%28%28x%2B7%29%2Fx%29-4%3D0+or+ln%28x%2B5%29-ln%282*x%2B1%29%3D0%7D
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Genius I
@exprof mi sembri molto dogmatico, è una cosa che ho notato anche altre volte e penso di avertelo già sottolineato. Sarà che sono ingegnere, ma se uno mi chiede la soluzione di un'equazione senza specificare nulla, io intendo che vada risolta nei reali, non nei complessi. Quindi, usando R come "insieme in cui cercare le soluzioni", la condizione da imporre è che l'argomento del logaritmo sia >0. Puoi passare a quello che dici tu solo ad un livello superiore di conoscenza da parte di chi ascolta, altrimenti, soprattutto ad un livello di scuola superiore, rischi di confondere lo studente piuttosto che estendere la visione d'insieme, che poi è il tuo fine ultimo.
@Sebastiano
Anzitutto ti ringrazio dell'attenzione e della cortesia, ma sento di doverti contraddire qua e là.
Non rammento altre occasioni in cui tu mi abbia sottolineato che io ti sia sembrato molto dogmatico, ma è di certo colpa mia (già i miei 81 anni abbondanti sarebbero una spiegazione; se poi ci aggiungo i miei vari guai, non ti dico: BPCO severa, cardiopatia, claudicatio intermittens, neoplasia che con la radioterapia aumenta di volume, concentratore d'ossigeno che aspetta Ferragosto per rompersi, ... e altro!) spero che tu mi perdoni la smemoratezza.
Non credo d'essere dogmatico affatto (altro che molto!), ma questo lo dicevano di sé stessi anche l'abate Amaury a Béziers e Papa Carafa a Roma: le autoclassifiche valgono pochino.
Confesso però di essere piuttosto rude: non direi mai che il mio prodotto "usa l'acqua dell'intestino per ammorbidire le fèci", direi direttamente "Damme li sórdi! è il consumismo, bellezza!".
Sarà che anch'io 50 anni fa ero un ingegnere (ho cassato l'iscrizione all'Ordine da una decina d'anni), ma se uno mi chiede la soluzione di un'equazione senza specificare nulla, io intendo che gli occorra il procedimento risolutivo e non introduco ipotesi aggiuntive nemmeno se ben giustificate.
La tua frase che mi dà più da riflettere è l'ultima "... ad un livello di scuola superiore, rischi di confondere lo studente piuttosto che estendere la visione d'insieme, che poi è il tuo fine ultimo."
Io ho insegnato Matematica solo due anni: nel 1965 a una classe del quart'anno di Architettura e nel 1966 a due classi di un Liceo Scientifico Statale; poi ho insegnato Informatica, Sistemi e altre materie tecniche fino al 2006 quando la mini finanziaria di Padoa-Schioppa mi liecenziò con tre ore di preavviso obbligandomi alla pensione.
In tutto questo tempo m'è successo più volte di sentirmi dire "Tu così mi confondi le idee, ridìmmelo in un altro modo!" e io glielo ridicevo volentieri (e qualche volta, specie negli anni '80, m'hanno anche dato del dogmatico), però pur non rinunziando al mio modo di parlare sono sempre stato attento a cercare di allargare i paraocchi a tutti i miei alunni, con più attenzione per quelli che mi contestavano e quindi correvano il rischio di non seguirmi.
Voglio dire che il rischio di confondere va accettato, a patto d'essere disponibile a seguire le richieste degli alunni e di non perdere d'occhio il fine ultimo.
Scusa la chiacchiera e alla prossima. Grazie ancora.
Per la prima, come prima cosa deve essere $9x-1>0$ affinchè l'espressione abbia senso. Quindi $x>1/9$
Poi, per risolvere l'equazione, io la scriverei come:
$log(9x-1)=1$
$e^{log(9x-1)}=e^1=e$
$9x-1=e$
$9x=e+1$
$x=\frac{e+1}{9}$
Tale valore è chiaramente accettabile in quanto $>1/9$
Stesso approccio per la seconda:
$\frac{x+7}{x}>0$ insieme a $x \neq 0$
questa disequazione porta a $x<-7$ U $x>0$
per la risoluzione:
$log(\frac{x+7}{x})=4$
$e^{log(\frac{x+7}{x})}=e^4$
$\frac{x+7}{x}=e^4$
$(e^4-1)x=7$
$x=\frac{7}{e^4-1}$
che è accettabile in quanto $>0$
Per la terza:
$x>-5$ U $x>-1/2$ (ovvero $x>-1/2$)
dopodichè:
$log(x+5)=log(2x+1)$
$x+5=2x+1$
$x=4$
Anch'esso accettabile
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Livello 9
@sebastiano grazie 😊
@Antonio prego 😉