Equazioni goniometriche riassuntive.

Sviluppiamo la differenza di cubi e l'identità goniometrica

$ (sin x - cos x)(sin^2 x +sin x cos x + cos^2 x) + sin^2 x + sin x cos x + cos^2 x = 0$

$ (sin^2 x +sin x cos x + cos^2 x)(sin x - cos x +1) = 0$

Per il principio dell'annullamento del prodotto

1. $sin^2 x +sin x cos x + cos^2 x = 0$
   1. $tan^2 x + tan x + 1 = 0 \; ⇒ \; t^2 + t +1 = 0;$ Nessuna soluzione. Il discriminante del trinomio è negativo Δ = -3
2. $sin x - cos x +1 = 0$ Questa volta useremo le parametriche dove $t = tan \frac{x}{2}$
   1. Verifica che x = π non sia una soluzione. OK non lo è. Se lo fosse dovremmo aggiungerla.
   2. Sostituiamo le formula parametriche del seno e del coseno.

$ \frac {2t}{1+t^2} - \frac{1-t^2}{1+t^2} + 1 = 0 $

$ \frac{2t(1+t)}{1+t^2} = 0 $

1. 1. 1. $ t = 0 \; ⇒ \; tan(\frac{x}{2}) = 0 \; ⇒ \; \frac{x}{2} = k\pi \; ⇒ \; x = 2k\pi; $
      2. $ t = -1 \; ⇒ \; tan(\frac{x}{2}) = -1 \; ⇒ \; \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + k\pi \; ⇒ \; x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi; $

$\qquad k \in \mathbb{Z}$

nota: Quando si presenterà l'opportunità risolverò l'equazione trigonometrica lineare in seno/ coseno con il metodo dell'angolo aggiunto. Dopo qualche esperienza le persone si orientano a scegliere il metodo che preferiscono.