Equazioni differenziali, problemi

L'equazione é non omogenea del primo ordine

La soluzione dell'omogenea associata é C e^[(k - 4)x]

mentre la soluzione particolare può essere cercata sotto la

forma A e^(-kx) essendo sicuramente - k =/= k - 4 se k - 4 k =/= 2

- k A e^(-kx) = (k - 4) A e^(-kx) - 4 e^(-kx)

- kA = k A - 4 A - 4

2 k A - 4 A = 4

A = 4/(2k - 4) = 2/(k - 2)

Quindi, per k =/= 2

y(x) = 2/(k - 2) e^(-kx) + C e^((k - 4)x)

e la condizione iniziale é verificata se

0 = 2/(k - 2) + C => C = -2/(k - 2)

y(x) = 2/(k - 2) * [e^(-kx) - e^((k-4) x)]

per avere limite nullo all'infinito dovrebbe essere

{ -k < 0

{ k - 4 < 0

ovvero k > 0 e k < 4 => 0 < k < 4

Resta da esaminare, credo per ispezione diretta, il caso k = 2.

y' = -2y - 4e^(-2x)

y' + 2y = - 4e^(-2x)

(y' + 2y) e^(2x) = - 4 e^(-2x) e^(2x)

(y e^(2x))' = - 4

y e^(2x) = -4x + C

y = - 4x e^(-2x) + Ce^(-2x)

0 = 0 + C *1 => C = 0

y = - 4x e^(-2x)

tende a 0 a per x->+oo

Quindi l'intervallo ]0,4[ non si spezza in k = 2