Equazioni differenziali

y" + 2y' - 8y = 0;

y(0) = 2;

y'(0) = k;

λ^2 + 2λ - 8 = 0;

λ = - 1 +- radicequadrata(1 + 8) = - 1 +- 3;

λ1 = - 1 + 3 = 2;

λ2 = - 1 - 3 = - 4;

Soluzione generale:

y(x) = c1 e^(2x) + c2 e^(-4x);

y(0) = 2;

c1 * e^0 + c2 * e(0) = 2;

c1 + c2 = 2;

c1 = 2 - c2;

y'(x) = 2c1 e^(2x) - 4c2e^(-4x); derivata prima di y(x);

y'(0) = k

2 c1 - 4 c2 = k ;

2 * (2 - c2) - 4 c2 = k;

4 - 2 c2 - 4 c2 = k;

- 6 c2 = k - 4;

c2 = (4 - k) / 6;

c1 = 2 - [(4 - k) / 6] = [12 - 4 + k] / 6;

c1 = (8 + k) / 6;

y(x) = [(8 + k) /6] * e^(2x) + [ (4 - k) / 6] * e^(-4x); (soluzione);

lim (per x ---> - ∞) { [(8 + k) /6] * e^(2x) + [ (4 - k) / 6] * e^(-4x)} = 0;

[(8 + k) /6] * e^[2 * (- ∞)] questo termine va a 0;

[(4 - k) / 6] * e^[- 4* (- ∞)] questo termine va a 0, se (4 - k) / 6 = 0;

k = + 4;

y(x) = [(8 + 4) /6] * e^(2x) + [ (4 - 4) / 6] * e^(-4x);

y(x) = 12/6 e^(2x) = 2  e^(2x).

lim (per x ---> + ∞) { [(8 + k) /6] * e^(2x) + [ (4 - k) / 6] * e^(-4x)} = 0;

[(4 - k) / 6] * e^[- 4 * (+ ∞)] questo termine va a 0;

[(8 + k) /6] * e^[2 * (+ ∞)]  questo termine va a 0, se (8 + k) / 6 = 0;

8 + k = 0;  

k = - 8;

y(x) = [(8 + k) /6] * e^(2x) + [ (4 - k) / 6] * e^(- 4x);

y(x) = [(8 - 8) /6] * e^(2x) + [ (4 + 8) / 6] * e^(- 4x);

y(x) = 0 + 12/6 e^(- 4x);

y(x) = 2  e^(- 4x).

Ciao @alby

Risolviamo l'equazione lineare a coefficienti costanti del secondo ordine. 

• Equazione differenziale. $ y$"$+2y'-8y = 0$
• Polinomio caratteristico. $ λ^2+2λ-8 = (x+4)(x-2)$
• Radici polinomio caratteristico. $ λ_1 = -4; λ_2 = 2$
• Soluzione generale dell'equazione differenziale. $ y(x) = c_1 e^{-4x} + c_2 e^{2x} $
• Problema di Cauchy
  • Imponiamo le condizioni di Cauchy ottenendo il sistema

$ \left\{\begin{aligned}  c_1+c_2 &= 0 \\ -4c_1 + 2c_2 &= k \end{aligned} \right. $
la cui soluzione del sistema è $ c_1 = \frac{4-k}{6} \; ∧ \; c_2 = \frac{k+8}{6} $ 

• • Soluzione problema di Cauchy. $ y(x) = \frac{4-k}{6} e^{-4x} + \frac{k+8}{6} e^{2x} $

a.  $ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} y(x) = 0 $

Ciò è verificato se il termine contenente $e^{-4x}$ è nullo ovvero k = 4.

La soluzione per k = 4 è $ y(x) = \frac{4+8}{6} e^{2x} \; ⇒ \; y(x) = 2 e^{2x}$

b.  $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} y(x) = 0 $

Ciò è verificato se il termine contenente $e^{2x}$ è nullo ovvero k = -8.

La soluzione per k = -8 è $ y(x) = \frac{4+8}{6} e^{-4x} \; ⇒ \; y(x) = 2 e^{-4x}$