Equazioni differenziali.

Bisogna calcolare l'integrale di:

0 - (x + 4)/(x - 1) = (x + 4)/(1 - x) = - 5/(x - 1) - 1

fra x = -4 ed x = 0

quindi:

∫((x + 4)/(1 - x)) dx = - 5·LN(ABS(x - 1)) - x

- 5·LN(ABS(0 - 1)) - 0 = 0

- 5·LN(ABS(-4 - 1)) - (-4) = 4 - 5·LN(5)

Quindi:

0 - (4 - 5·LN(5)) = 5·LN(5) - 4

y = (x + 4) /(x - 1), funzione omografica  y = (ax + b) / (cx + d);

il grafico è un'iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi.

interseca l'asse y in b/d = 4/(-1) = - 4;

x = 0;  y = (0 + 4 ) / (0 - 1) = - 4; A (0; - 4)

interseca l'asse x;  y = 0; x + 4 = 0; x = - 4; B(- 4; 0);

asintoto orizzontale.

lim x ---> + ∞ [(x + 4) /(x - 1)] = lim x ---> + ∞  (1 + 4/x) /(1 - 1/x) = 1;

y = 1; 

lim x ---> - ∞ [(x + 4) /(x - 1)] = lim x ---> - ∞  (1 + 4/x) /(1 - 1/x) = 1;

se x tende a + 1, il denominatore si annulla, y(x)  va a + ∞, asintoto verticale

lim x ---> + 1 [(x + 4) /(x - 1)] = + ∞.

Calcoliamo  l'integrale per x che va da - 4 fino a 0:

y(- 4) = (- 4 + 4) / (- 4 + 1) = 0;

0 - y(x) = 0 - (x + 4) ( x - 1) = - (x + 4) / (x - 1);

separiamo la frazione:

- (x + 4 + 1 - 1)/ (x - 1)  = - (x - 1 + 5) / (x - 1) =

= - (x - 1) / (x - 1) - 5/ (x - 1) = - 1 - 5/(x - 1)  ;

∫[ - 1 - 5/(x - 1) ]dx,   calcolato tra - 4 e 0;

∫- 1 dx + (- 5) ∫[1/(x - 1)] dx =

= - x - 5 ln|x - 1|; calcolato tra - 4 e 0;

= (0 - 0 ) - [+ 4 - 5 ln (5)] =

= 5 ln(5) - 4.

Ciao @alby