Spiegare gentilmente i ragionamenti e i passaggi, argomentare.
Spiegare gentilmente i ragionamenti e i passaggi, argomentare.
11881
punti
Livello 2
$ y' = y -\frac{2x}{y} $ Moltiplichiamo per y
$ yy' = y^2 - 2x$
Poniamo $ z = y^2 \; ⇒ \; z' = 2yy' \; ⇒ \; yy' = \frac{z'}{2} $
Dopo la sostituzione si ottiene
$ \frac{z'}{2} = z - 2x$
$ z' = 2z - 4x$
$ z' - 2z = - 4x$ (1)
ODE lineare non omogeneo a coefficienti costanti. Troveremo la soluzione generale dell'omogenea associata che verrà di seguito sommata a una soluzione particolare.
$ \bar{z}' = a$
Introdotti i valori nella (1)
$ a - 2(ax+b) = -4x $
Per il principio di identità dei polinomi si ottiene la soluzione
$ a = 2 \quad ∧ \quad b = 1 $ ovvero una soluzione particolare è
$ \bar{z} = 2x+1$
La soluzione generale è quindi
$ z(x) = ce^{2x} + 2x +1 $
Tornando alla variabile originaria
$ y(x) = \pm \sqrt{ce^{2x} + 2x +1} $
21742
punti
Livello 6