Equazione esponenziale n.7

Un metodo utile nelle equazioni esponenziali è cercare di riscrivere i termini con la stessa base, così diventa più semplice confrontare gli esponenti. Se l’equazione rimane complicata, si può fare una sostituzione (per esempio t=3xt = 3^xt=3x) per trasformarla in un’equazione algebrica più semplice. Dopo aver trovato $t$, si torna alla variabile $x$ e si controllano sempre le soluzioni nell’equazione iniziale.

Questa equazione non ha soluzioni reali, e le soluzioni complesse sono ricavabili solo numericamente. Se ti interessa, le soluzioni sono:

$x \approx -0.2742161180404029263410415286 - 0.6572676453618698747312276557i$

$x \approx -0.2742161180404029263410415286 + 0.6572676453618698747312276557i$

Calcolate qui con Wolfram Alpha.

$\dfrac{5^{2x}}{3^x-1} =\sqrt{\dfrac{3 \cdot 5^x}{9^{x+1}}}$.

Come vedi, abbiamo una radice al secondo membro, per poter procedere dobbiamo elevare al quadrato, ma prima di elevare al quadrato dobbiamo assicurarci che la radice esista, e che il primo membro sia, come la radice, positivo o nullo. È facile notare che la prima condizione sia valida per ogni $x$, dato che il radicando è un rapporto di esponenziali (che sono sempre positive). Lo stesso però non si può dire del primo membro, che ha il numeratore sempre positivo, ma il numeratore può essere negativo:

$3^x-1 >0 \implies 3^x > 1 \implies \log_3(3^x) > \log_3(1) \implies x>0$ (non è necessario fare tutto lo studio del segno, perché se il denominatore è negativo allora la frazione è negativa perché il numeratore è positivo a prescindere).

Ora eleviamo al quadrato:

$\dfrac{5^{4x}}{(3^x-1)^2}=\dfrac{3 \cdot 5^x}{9^{x+1}}$

Ricordo che $(5^{2x})^2=5^{2 \cdot 2x}=5^{4x}$ per le regole degli esponenti.

Nota che posso dividere sicuramente per $5^x$ perché è sempre positivo (quindi sempre diverso da $0$), quindi ho:

$\dfrac{5^{3x}}{(3^x-1)^2}= \dfrac{3}{9^{x+1}}$

Ricordo che $\frac{5^{4x}}{5^x}=5^{4x-x}=5^{3x}$ per le regole degli esponenti.

Ora procedo scomponendo $9^{x+1} = 9^x \cdot 9$ applicando la del prodotto di potenze con basi uguali all'inverso:

$\dfrac{5^{3x}}{(3^x-1)^2}=\dfrac{3}{9^x \cdot 9} =\dfrac{1}{9^x \cdot 3}$.

Ricordo che $9^x \cdot 3= (3^2)^x \cdot 3 =3^{2 \cdot x} \cdot 3= 3^{2x} \cdot 3 = 3^{2x+1}$.

$\dfrac{5^{3x}}{(3^x-1)^2}=\dfrac{1}{3^{2x+1}}$

Pongo $3^x=t$ e ribalto le frazioni di entrambi i membri:

$\dfrac{(t-1)^2}{5^{3x}}=3^{2x+1} = 3^x \cdot 3^x \cdot 3 = 3t^2$

$t^2-2t+1=3 \cdot 5^{3x} t^2$
$(3 \cdot 5^{3x}-1)t^2+2t-1=0$

Risolviamo quest'equazione di secondo grado in $t$:
$\Delta = 2^2 +4 \cdot(3 \cdot 5^{3x}-1)=4(1+5^{3x}-1)=4 \cdot 3\cdot 5^{3x}$

$t=\dfrac{-2 \pm 2 \sqrt{3 \cdot 5^{3x}}}{2 \cdot 3 \cdot  (5^{3x}-1)}=\dfrac{-1 \pm \sqrt{3 \cdot 5^{3x}}}{3 \cdot 5^{3x}-1}$.

Ricordiamo che $t=3^x >0$ quindi non ha senso prendere la soluzione negativa (il denominatore è sempre positivo perché preposto che $x>0$).

Poniamo $g=3 \cdot 5^{3x}$

$t=\dfrac{\sqrt{g}-1}{g-1}$.

A questo punto, quello che farei io sarebbe derivare $t(x)$ e $h(x)=\dfrac{\sqrt{g(x)}-1}{g(x)-1}$ e dimostrare che le derivate sono: crescente monotona per $t(x)$ e decrescente monotona per $h(x)$, e che $t(0) >h(0)$. Penso che però la dimostrazione vada al di là dell'esercizio.

Questo grafico dimostra che le funzioni iniziali a primo membro e a secondo membro $\dfrac{5^{2x}}{3^x-1}$ e $\sqrt{\dfrac{3 \cdot 5^x}{9^{x+1}}}$ non si intersecano mai:

Per risolvere un’equazione esponenziale, prova a trasformare tutti i termini in modo che abbiano la stessa “base”. Se compaiono termini simili ma con l’incognita scritta in modo diverso, può aiutare sostituirli con una sola lettera, risolvere l’equazione più semplice che ottieni e poi controllare che il risultato funzioni anche nell’equazione iniziale.

Spiegazione chiara e ben strutturata. Nelle equazioni esponenziali il passaggio più importante è spesso capire quale proprietà utilizzare per riscrivere le potenze nella stessa base, e qui il procedimento è spiegato in modo molto comprensibile. È utile vedere tutti i passaggi perché aiuta non solo a trovare il risultato, ma anche a capire la logica matematica dietro la soluzione.

Concetti come percentuali, esponenti e formule matematiche vengono utilizzati anche in strumenti pratici di calcolo online. Ad esempio, per stimare tasse, contributi e stipendio reale utilizzo spesso il calcolatore online, che applica calcoli simili in ambito fiscale e retributivo.

Le equazioni esponenziali spesso diventano più semplici quando si riesce a riscrivere entrambi i membri con la stessa base e poi applicare le proprietà delle potenze passo per passo. Molte volte l’errore nasce proprio nei passaggi intermedi e non nel risultato finale.

Mi piace questo tipo di discussioni perché aiutano davvero a capire il ragionamento dietro la soluzione invece di limitarsi alla risposta. Un po’ come succede nei calcoli finanziari tra ral lordo netto, dove capire i passaggi fa molta differenza rispetto a guardare solo il numero finale.

Exponential equations can definitely become tricky when logarithms and powers are involved. When I’m checking my steps, I often verify intermediate results with a TI-84 calculator tool, especially for exponential and logarithmic expressions. A step-by-step explanation would be very helpful here, as understanding the reasoning behind each transformation is often more important than just getting the final answer. Looking forward to seeing the solution from the community.