L'ellisse di equazione x^2/a^2 + y^2 = 1 è tangente alla retta di equazione radical 3 x - 2y -4 = 0. Trova il valore di a.
Risposta 2
Ho provato a mettere a sistema le 2 equazioni e cercare di porre delta = 0 , ma mi trovo troppe incognite. Grazie a chi mi aiuterà, fornendomi preziose informazioni e insegnamenti.
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Livello 1
IN OGNI BUON FORMULARIO SI LEGGE CHE la generica ellisse centrata nell'origine, con assi di simmetria su quelli coordinati e con semiassi a e b positivi, ha equazione
* Γ(a, b) ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
e pendenza
* m(x, y) = - ((b/a)^2)*x/y
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NEL CASO IN ESAME
Il fascio d'ellissi
* Γ(a) ≡ (x/a)^2 + (y/1)^2 = 1
ha pendenza
* m(x, y) = - ((1/a)^2)*x/y
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La retta
* (√3)*x - 2*y - 4 = 0 ≡ y = ((√3)*x - 4)/2
ha pendenza
* m = √3/2
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Il sistema dei punti comuni
* (y = ((√3)*x - 4)/2) & ((x/a)^2 + (y/1)^2 = 1)
ha risultante
* (x/a)^2 + (((√3)*x - 4)/2)^2 - 1 = 0 ≡
≡ (1/a^2 + 3/4)*x^2 - (2*√3)*x + 3 = 0
con discriminante
* Δ(a) = 3*(a + 2)*(a - 2)/a^2
che, per la tangenza, deve azzerarsi.
Quindi
* (Δ(a) = 0) & (a > 0) ≡ a = 2
* Γ ≡ (x/2)^2 + (y/1)^2 = 1
* (y = ((√3)*x - 4)/2) & ((x/2)^2 + (y/1)^2 = 1) ≡ T(√3, - 1/2)
* m(√3, - 1/2) = - ((1/2)^2)*√3/(- 1/2) = √3/2 = m
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28%E2%88%9A3%29*x-2*y-4%3D0%2C%28x%2F2%29%5E2--y%5E2%3D1%5Dx%3D-3to3%2Cy%3D-3to3
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Genius I
