Equazione di circonferenza

è sicuramente più lungo perché i calcoli vengono complessi ma il procedimento è facile da capire.

parti dalla formula generica della circonferenza e al posto delle x e delle y sostituisci le coordinate di A e B perché entrambi sono punti della circonferenza.

la terza condizione è la condizione di tangenza che ti dice che se netti a sistema la circonferenza e la retta tangete il delta verrà uguale a 0

prendi queste 3 condizioni (passaggio per A, per B e delta=0) le metti a sistema e trovi a,b e c

Retta perpendicolare a quella data passante per B:

y = - 1/2·x + q---> 3 = - 1/2·1 + q---> q = 7/2

y = - 1/2·x + 7/2

[α, - 1/2·α + 7/2] sono le coordinate di un suo generico punto (in particolare del centro C  della circonferenza cercata)[2, 1] e [1, 3]

Devono essere tali per cui:

CΑ^2 = CΒ^2 = r^2

(2 - α)^2 + (1 - (- 1/2·α + 7/2))^2 = (1 - α)^2 + (3 - (- 1/2·α + 7/2))^2 = r^2

(α^2 - 4·α + 4) + (α/2 - 5/2)^2 = (α^2 - 2·α + 1) + (α/2 - 1/2)^2

(α^2 - 4·α + 4) + (α^2/4 - 5·α/2 + 25/4) = (α^2 - 2·α + 1) + (α^2/4 - α/2 + 1/4)

5·α^2/4 - 13·α/2 + 41/4 = 5·α^2/4 - 5·α/2 + 5/4

Risolvo ed ottengo: α = 9/4

Centro C:

[9/4, - 1/2·(9/4) + 7/2]---> [9/4, 19/8]

r^2=5·(9/4)^2/4 - 13·(9/4)/2 + 41/4

r^2=125/64

Equazione cartesiana:

(x - 9/4)^2 + (y - 19/8)^2 = 125/64

Quindi:

(x^2 - 9·x/2 + 81/16) + (y^2 - 19·y/4 + 361/64) - 125/64 = 0

x^2 - 9·x/2 + y^2 - 19·y/4 + 35/4 = 0

4·x^2 + 4·y^2 - 18·x - 19·y + 35 = 0

Scriviamo l'equazione del fascio di circonferenze Γ: usando come generatori

1. La circonferenza di raggio nullo e centro in B(1, 3). $(x-1)^2 + (y-3)^2 = 0 $
2. L'asse radicale, cioè la retta tangente $ 2x-y+1 = 0 $

$ Γ:  x^2+y^2-2x-6y+10+k(2x-y+1) = 0 $

Cerchiamo nel fascio Γ: la circonferenza che passa per A(2, 1)

$ 4+1-4-6+10+k(4-1-1) = 0 $

$ k = -\frac{5}{4}$

per cui la circonferenza cercata sarà

$4x^2+4y^2-18x-19y+35 = 0$