Ho provato a risolvere l'equazione:
$\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{3}$
utilizzando le formule parametriche; ponendo $t=\tan \frac{x}{2}$, alla fine ho ricavato che $t=1 \lor t=2-\sqrt{3}$. Ho notato immediatamente che $1=\tan \left (\frac{\pi}{4} + \pi k \right)$, ma non avevo idea di che angolo stessi cercando nel secondo caso.
Dato che non mi piace usare la calcolatrice, ho usato la formula di duplicazione della tangente, e ho ricavato che $\tan x = \tan \left ( 2 \frac{x}{2} \right) = \dfrac{2(2-\sqrt{3})}{1-(2-\sqrt{3})^2}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$. So che $\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\tan \left ( \frac{\pi}{6} + \pi k \right )$, quindi $\tan x = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \implies x = \dfrac{\pi}{6} + \pi k$. Purtroppo questo risultato non è corretto, è diverso da quello che ho ottenuto provando a risolvere la stessa equazione utilizzando il metodo dell'angolo aggiunto, in quel caso ho ottenuto $x= \frac{\pi}{6} + 2 \pi k$.
Quello che noto è che ogni volta che provo ad usare questo trucco per ricavare direttamente $x$, il periodo è dimezzato, ma l'angolo di partenza è giusto (quindi ottengo soluzioni in più che in realtà non sono valide). Anche nell'equazione simile $\sqrt{3}\sin 3x + \cos 3x = \sqrt{3}$, ottengo che $\tan \frac{3}{2} x = 2-\sqrt{3}$, e mi risulta che $x=\frac{\pi}{18} + \frac{\pi}{3} k$ piuttosto che $x=\frac{\pi}{18} + \frac{2}{3}\pi k$.
Ne ho parlato in classe con il mio professore, ma non siamo riusciti ad arrivare a nessuna spiegazione perché c'era poco tempo e perché le condizioni in classe non erano tali da favorire il ragionamento. Chiedo a voi di poter spiegare questa incongruenza, grazie in anticipo.
