[Risolto] (Domanda urgente) Ellisse e parabola

Sino alla c)

Calcolo del punto di tangenza (comune ai due luoghi geometrici)

x = √6: √6·√6 + 3·y·√2 - 12 = 0-->3·√2·y - 6 = 0--->y = √2

[√6, √2]

x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1---> x^2/α + y^2/β = 1

Riduco ad un parametro l'ellisse imponendo il passaggio per il punto trovato

√6^2/α + √2^2/β = 1----> β = 2·α/(α - 6)

x^2/α + y^2/(2·α/(α - 6)) = 1

x^2/α + y^2·(α - 6)/(2·α) = 1

Quindi sistema:

{x^2/α + y^2·(α - 6)/(2·α) = 1

{x·√6 + 3·y·√2 - 12 = 0

dalla seconda: x = 2·√6 - √3·y

(2·√6 - √3·y)^2/α + y^2·(α - 6)/(2·α) - 1 = 0

sviluppo: (α·y^2 - 24·√2·y - 2·α + 48)/(2·α) = 0

α·y^2 - 24·√2·y - 2·α + 48 = 0

Δ/4 = 0 condizione di tangenza

(12·√2)^2 - α·(48 - 2·α) = 0

2·α^2 - 48·α + 288 = 0

2·(α - 12)^2 = 0----> α = 12

β = 2·12/(12 - 6)----> β = 4

x^2/12 + y^2/4 = 1 ellisse

(x^2 + 3·y^2 = 12)

a^2 = 12----> a = - 2·√3 ∨ a = 2·√3

b^2 = 4----> b = -2 ∨ b = 2

α > β i fuochi stanno sull'asse delle x

γ = c^2----> γ = α - β = 12 - 4 =8

c^2 = 8----> c = - 2·√2 ∨ c = 2·√2

[- 2·√2, 0] ; [2·√2, 0]

ε = e^2--->ε = γ/α--->  e = √(γ/α)=  √(8/12) = √(2/3)

e = √6/3

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{y = 2/3·x^2 - 5

{x^2 + 3·y^2 = 12

per sostituzione:

x^2 + 3·(2/3·x^2 - 5)^2 - 12 = 0

4·x^4/3 - 19·x^2 + 63 = 0

x = - √21/2 ∨ x = √21/2 ∨ x = -3 ∨ x = 3

In corrispondenza si hanno i seguenti valori di y:

y = - 3/2 v y = 1

I punti sono quelli di figura:

"comprendere il metodo di risoluzione"
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A) Riesumare dai proprî appunti (o ricopiare dal libro) le equazioni necessarie a risolvere.
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A1) La generica ellisse di equazione
* Γ(a, b) ≡ x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
è riferita ai suoi assi di simmetria ed ha semiassi a e b, semidistanza focale c, eccentricità e.
Se a = b > 0 (circonferenza): c = 0, e = 0.
Se a > b > 0 (fuochi sull'asse x): c = √(a^2 - b^2), e = c/a = √(1 - (b/a)^2).
Se b > a > 0 (fuochi sull'asse y): c = √(b^2 - a^2), e = c/b = √(1 - (a/b)^2).
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A2) L'area S del trapezio è il prodotto fra l'altezza h e la media delle basi: S = h*(a + b)/2
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B) Esaminare i dati traendone le implicazioni utili alla risoluzione.
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B1) "tangente alla retta x sqrt(6) + 3y sqrt(2) - 12 = 0 nel punto di ascissa sqrt(6)"
All'ascissa x = √6 la retta
* t ≡ x*√6 + 3*y*√2 - 12 = 0 ≡ y = 2*√2 - x/√3
passa per il punto di tangenza T(√6, √2) che, per definizione, deve appartenere anche a Γ, cioè
* ((√6)^2/a^2 + (√2)^2/b^2 = 1) & (a > 0) & (b > 0) ≡ (a = √(6*b^2/(b^2 - 2)) > b > √2) & (b < 2*√2)
da cui
* a^2 = 6*b^2/(b^2 - 2)
* Γ(b) ≡ x^2/(6*b^2/(b^2 - 2)) + y^2/b^2 = 1
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B2) "tangente la retta t in T(√6, √2)" vuol dire che il sistema
* t & Γ(b) ≡ (y = 2*√2 - x/√3) & (x^2/(6*b^2/(b^2 - 2)) + y^2/b^2 = 1) & (√2 < b < 2*√2)
con risolvente
* x^2/(6*b^2/(b^2 - 2)) + (2*√2 - x/√3)^2/b^2 - 1 = 0 ≡
≡ (b^2)*x^2 - (8*√6)*x - 6 b^2 + 48 = 0
deve avere nullo il discriminante di questa, cioè
* (Δ(b) = 0) & (√2 < b < 2*√2) ≡
≡ (24*(b^4 - 8*b^2 + 16) = 0) & (√2 < b < 2*√2) ≡
≡ (((b + 2)*(b - 2))^2 = 0) & (√2 < b < 2*√2) ≡
≡ b = 2
da cui
* a^2 = 12 → a = √12
* Γ ≡ x^2/12 + y^2/4 = 1
* a > b > 0 (fuochi sull'asse x): c = √(12 - 4) = 2*√2, e = 2*√2/√12 = √6/3 = √(2/3).
* fuochi F(± 2*√2, 0)
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B3) Da qui in poi non c'è più un metodo di risoluzione da comprendere: sono solo calcoletti.
Vertici del trapezio
* (x^2/12 + y^2/4 = 1) & (y = 2*x^2/3 - 5) ≡
≡ A(- √21/2, - 3/2), B(√21/2, - 3/2), C(3, 1), D(- 3, 1)
* S(ABCD) = (5/4)*(6 + √21) ~= 13.2
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NOTA PERSONALE
Scrivere "urgente", o qualsiasi altra cosa che faccia riferimento al tempo, non è cosa "aggressiva", ma "offensiva".
L'intervento dove lo spiegavo con dovizia di argomentazioni
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/91008/
fu eliminato da un bigotto censore dello staff del sito @sosmatematica
Ne puoi trovare versioni ridotte sopravvissute alla censura ai link
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http://www.sosmatematica.it/forum/postid/137547/