Distribuzione di Poisson

Question

Qualcuno mi saprebbe spiegare questo esercizio sulla distribuzione di Poisson?

Le variabili casuali X₁ e X₂ hanno distribuzione di Poisson di parametri Lambda₁ = 1 e lambda₂= 4, rispettivamente. Calcolare:

La varianza di 9 X₁ – 2x₂nel caso la covarianza tra le due variabili sia 0;
La varianza di 9X₁ – 2X₂ nel caso la covarianza tra le due variabili sia 0.5
Nel caso la covarianza sia zero le due variabili sono indipendenti? (rispondere 1 in caso affermativo o zero in caso negativo).

Autore

Risposta

JunJules

(@junjules)

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29/04/2021 12:13

EidosM · Accepted Answer

var [ a X1 + b X2 ] = E [ (aX1 + bX2)^2 ] - E^2[aX1 + bX2 ] =

= E [a^2 X1^2 + 2ab X1 X2 + b^2 X2^2 ] - ( aE[X1] + bE[X2] )^2 =

= a^2 E[X1^2] + 2ab E[X1X2] + b^2 E[X2^2] - a^2 E^2[X1] - 2ab E[X1]E[X2] - b^2 E^2[X2]=

= a^2 (E[X1^2] - E^2[X1]) + 2ab (E[X1X2] - E[X1]E[X2]) + b^2 (E[X2^2] - E^2[X2] ) =

= a^2 var X1 + 2ab cov(X1,X2) + b^2 var X2

nel nostro caso

var [9X1 - 2X2] = 81 var X1 - 36 cov (X1 X2) + 4 var X2 =

= 81 * lambda1 + 4 * lambda2 - 36 cov (X1 X2) = 81*1 + 4*4 - 36 cov(X1 X2) =

= 97 - 36 cov(X1 X2)

quindi nelle due situazioni risulta var [9X1 - 2X2] =

1) 97 - 0 = 97

2) 97 - 36*0.5 = 79

Le due variabili non sono congiuntamente gaussiane, per cui l'incorrelazione non comporta l'indipendenza (0).

EidosM

(@eidosm)

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29/04/2021 13:56