[Risolto] Disequazioni di 2 grado numeriche intere

Gli esercizi proposti sono quattro istanze dello stesso
PROBLEMA
risolvere la disequazione
* <trinomioQuadratico><R><zero>
con
* trinomioQuadratico = "a*x^2 + b*x + c"
* R = operatore di una diseguaglianza d'ordine (<, <=, >=, >)
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RISOLUZIONE
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La prima cosa da fare è dividere membro a membro per il coefficiente direttore "a"; ovviamente se "a" è negativo si inverte l'ordine della diseguaglianza. Così si unificano tutte le istanze alla forma monica
* <trinomioQuadraticoMonico><R><zero>
con
* trinomioQuadraticoMonico = "x^2 - s*x + p"
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79) 4*x^2 + 11*x - 3 <= 0 ≡ x^2 + (11/4)*x - 3/4 <= 0 [(s, p) = (- 11/4, - 3/4)]
80) x^2 - 4*x - 12 >= 0 ≡ sta bene così [(s, p) = (4, - 12)]
81) - x^2 + 9 >= 0 ≡ x^2 - 9 <= 0 [(s, p) = (0, - 9)]
82) 4*x^2 + 4*x + 9 < 0 ≡ x^2 + x + 9/4 < 0 [(s, p) = (- 1, 9/4)]
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In generale, il trinomio quadratico monico a coefficienti reali
* T(x) = x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2)
con discriminante
* Δ = s^2 − 4*p
e zeri
* X = (s ± √Δ)/2
cioè
* X1 = (s - √Δ)/2
* X2 = (s + √Δ)/2
ha gli zeri X1 e X2 tali che
* X1 + X2 = s (somma)
* X1 * X2 = p (prodotto).
Se Δ >= 0 gli zeri sono reali e vale X1 <= X2.
X1 e X2 sono distinti se il discriminante Δ è non nullo:
* X1 e X2 complessi coniugati se Δ < 0, reali se Δ > 0.
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Per le disequazioni si danno i seguenti casi.
* se Δ < 0, T(x) > 0 ovunque.
* se Δ = 0, X = X1 = X2; T(X) = 0; T(!= X) > 0; T(x) >= 0 ovunque.
* se Δ < 0, X1 < X2 e occorre distinguere cinque sottocasi
** x < X1: T(x) > 0
** x = X1: T(x) = 0
** X1 < x < X2: T(x) < 0
** x = X2: T(x) = 0
** x > X2: T(x) > 0

In ogni esercizio bisogna prima scomporre con le regole delle scomposizioni!