Dimostrazione equivalenza

Due triangoli sono equivalenti quando hanno la stessa area, quindi $A_{AMD}=A_{AMP}$, nota che i due triangoli hanno la stessa base $\overline{AM}$, quindi $\frac{1}{2}\overline{AM}h_1=\frac{1}{2}\overline{AM}h_2$ si riduce a dover dimostrare che $h_1=h_2$

Prolunga $\overline{AM}$ dalla parte di $M$ e $\overline{DC}$ dalla parte di $C$ per ottenere il segmento $\overline{DE} \cong \overline{AB}$ (sono congruenti perché i triangoli $DCM \cong BPM$ sono congruenti per il secondo criterio$^{[1]}$, quindi $\overline{DC} \cong \overline{BP}$, e i triangoli $AMB \cong CME$ sono congruenti sempre per il secondo criterio dato che $\widehat{AMP} \cong \widehat{CME}$ perché sono angoli opposti al vertice, $\widehat{ABM} \cong \widehat{MCE}$ perché sono angoli alterni interni, e $\overline{CM} \cong \overline{MB}$ perché $M$ è il punto medio di $\overline{BC}$). I triangoli $ADE \cong APE$ sono congruenti per il secondo criterio (abbiamo dimostrato che $\overline{DE} \cong \overline{AP}$ e per le congruenze dei triangoli $\overline{DM} \cong \overline{MP}$, gli angoli $\widehat{PDE} \cong \widehat{APD}$ sono congruenti perché alterni interni), quindi le altezze relative alla base in comune $\overline{DG} \cong \overline{PH}$ sono congruenti. Quindi $h_1=h_2$, allora i triangoli sono equivalenti.

Come volevasi dimostrare.

[1] Secondo criterio di congruenza dei triangoli: due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti due angoli e il lato tra essi compreso.

Tesi ABCD = 2 AMD; l'area del trapezio è il doppio dell'area del triangolo AMD;

Il triangolino giallo DCM è congruente al triangolino azzurro BPM (per il 2° criterio di uguaglianza, un lato e due angoli adiacenti uguali):  CM = MB per ipotesi, gli angoli in M sono opposti al vertice; l'angolo MBP (ottuso in B) è uguale all'angolo DCM (ottuso in C).

BP è congruente alla base minore CD;  BP = CD;

Area trapezio = (AB + CD) * h / 2;

Il triangolo ADP ha la stessa altezza  h del trapezio; la base AP è la somma di AB e BP;

AP = AB + CD

Area del triangolo ADP = (AB + CD) * h / 2; stessa area del trapezio.