DERIVATE

y = (x - 4)/(2·x + 1)

Funzione omografica

y'=9/(2·x + 1)^2

sempre crescente, non definita in x =-1/2 come la sua derivata. E' simmetrica rispetto al suo centro (iperbole equilatera): [-1/2,1/2]

per x=1 si ha:

y = (1 - 4)/(2·1 + 1)----> y = -1

y'(1) = 9/(2·1 + 1)^2---> y' =1

retta tangente :

y + 1 = 1·(x - 1)---> y = x - 2

punto di tangenza [1, -1]

Vi è un altro punto con retta tangente 

 y = x + q parallela alla precedente (come deve essere per la simmetria della funzione)

x + q = (x - 4)/(2·x + 1)

(x - 4)/(2·x + 1) - (x + q) = 0

- (2·x^2 + 2·q·x + q + 4)/(2·x + 1) = 0

2·x^2 + 2·q·x + (q + 4) = 0

Δ/4 = 0   condizione di tangenza

q^2 - 2·(q + 4) = 0----> q^2 - 2·q - 8 = 0

(q + 2)·(q - 4) = 0---> q = 4 ∨ q = -2

L'altra tangente parallela alla precedente è:

y = x + 4

Il punto di tangenza ha ascissa:

2·x^2 + 2·4·x + (4 + 4) = 0

2·x^2 + 8·x + 8 = 0----> 2·(x + 2)^2 = 0---> x = -2

ed ordinata:

y = (-2 - 4)/(2·(-2) + 1)---> y = 2

[-2, 2]