DERIVATA FUNZIONI COMPOSTE

y = √(2·x) + √(e^(2·x) + 1)

y'=

(√2·√x)' + (√(e^(2·x) + 1)'=

=√2·(√x)' + (√(e^(2·x) + 1))' =

=√2/(2·√x) + (√(e^(2·x) + 1))' =

=√2/(2·√x) + (e^(2·x) + 1)' /(2·√(e^(2·x) + 1))=

=√2/(2·√x) + (e^(2·x))' /(2·√(e^(2·x) + 1))=

=√2/(2·√x) + e^(2·x)·(2·x)' /(2·√(e^(2·x) + 1))=

=√2/(2·√x) + e^(2·x)·2/(2·√(e^(2·x) + 1))=

=√2·(√(e^(2·x) + 1) + √2·√x·e^(2·x))/(2·√x·√(e^(2·x) + 1))

Un esercizio per volta!

Uno alla volta. Vedi regolamento.

294)

[scriviamo radice(x) = x^(1/2)];

derivata di un prodotto;

y(x) = e^ [- x^(1/2)] * [2 - x^(1/2)],

y'(x) = {e^ [- x^(1/2)] * [- 1/2 * x^(1/2 - 1)]} * [2 - x^(1/2)] +

+ {[e^(- x^1/2] * [- 1/2 x^(1/2 - 1)]} ;

y'(x) = e^ [- x^(1/2)]*[-1/2  x^(-1/2)] * [2 - x^(1/2)] +[e^(- x^1/2]*[-1/2 x^(-1/2)] = 

= e^ [- x^(1/2)] * {[- 1/2  x^(- 1/2)] * [2 - x^(1/2)] + [- 1/2 x^(- 1/2)]};

y'(x) = e^ [- radice(x)] * {[-1/2 * 1 /(radice x)] * [2 - radice(x)] + [- 1/2 * 1/(radicex)]};

y'(x) = e^ [- radice(x)] * {[-1/(radice x) + 1/2 - 1/(2 radicex)]}=

= e^ [- radice(x)] * [- 3/2 * 1/(radicex) + 1/2].

Per regolamento soltanto una

293

y = ln (2 ln x) = ln 2 + ln ln x 

y'= 1/ln(x) * 1/x = 1/(x ln x).

Per il regolamento SOS Matematica è doveroso richiedere un solo quesito per volta.

Problema:

Calcolare la derivata della funzione $y=\ln \tan x + \ln \cos x$.

Soluzione:

Si usa la relazione della derivata di funzioni composte, bisogna derivare prima la funzione più esterna e poi man mano quelle interne moltiplicandole alla prima. 

$y'=D (\ln \tan x + \ln \cos x)$

Per la linearità della derivata si ha

$y'=D(\ln \tan x) + D(\ln \cos x)$

Ricordando che $D(\ln x)=\frac{1}{x}$, $D (\tan x)=\sec ² (x)$ e $D(\cos x)=-\sin x$, si ottiene mediante la relazione delle derivate composte quanto segue. 

$y'=\frac{1}{\tan x} \sec ² (x) + \frac{1}{\cos x} (-\sin x)$

$y'=\frac{\sec^2 (x) \cos x -\sin x \tan x}{\tan x \cos x}$

$y'=\frac{\sec (x) -\sin x \tan x}{\sin x}$

$y'=\frac{\cos x}{\sin x}$

$y'=\cot x$

Ove $\sec x =\frac{1}{\cos x}$, $\csc x =\frac{1}{\sin x}$, $\cot x =\frac{1}{\tan x}$.

Esercizio. Rifare il conto utilizzando le proprietà dei logaritmi.