Data l'iperbole di equazione $\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{9}=1$, stabilisci la posizione della retta di equazione $y=k$ rispetto all'iperbole, al variare del parametro $k$. Puoi generalizzare il risultato per un'iperbole di equazione $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ?
97
punti
Livello 1
Risposta alla domanda EX. 112
Metto a sistema:
{x^2/6 - y^2/9 = 1
{y = k
procedo con sostituzione:
x^2/6 - k^2/9 = 1
arrivo a scrivere:
9·x^2 - (6·k^2 + 54) = 0
Vedo il valore del discriminante al variare di k:
Δ = 4·9·(6·k^2 + 54)-------> Δ = 216·(k^2 + 9)
osservo che per ogni valore di k risulta: Δ > 0
Quindi concludo che per l'iperbole suddetta ci sono sempre 2 intersezioni cioè la retta è sempre secante.
Generalizzando questo succede sempre con un'iperbole del tipo:
x^2/a^2-y^2/b^2=1
115475
punti
Genius III
Entrambe le iperboli dei #112 e #113 hanno la forma (indicata nel #112 per la generalizzazione)
* Γ ≡ (x/a)^2 - (y/b)^2 = 1
cioè sono centrate nell'origine con asse trasverso sull'asse x.
Pertanto ...
---------------
112) Ogni retta s ≡ y = k, parallela all'asse x, è secante entrambi i rami di Γ in
* S(± (a/b)*√(b^2 + k^2), k)
---------------
113) Ogni retta r ≡ x = k, parallela all'asse y, ha relazione con Γ che dipende dal parametro
* per |k| < a, r è esterna a Γ
* per |k| = a, r è tangente Γ
* per |k| > a, r è secante un solo ramo di Γ in
* S(k, ± (b/a)*√(k^2 - a^2))
57798
punti
Genius I
