COntinuità e derivabilità

$ f(x) = \begin{cases} ax^3+3x^2-ax-3 \; \text{ se x < 1} \\ x -\frac{1}{x} \qquad \qquad \qquad \text{ se x ≥ 1} \end{cases} $

a.  Continuità

• $  \displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = a+3-a-3 = 0$
• $ f(1) = \displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1-1 = 0$

La funzione f(x) è continua per ogni valore reale delle a.

b.  Derivabilità

$ f'(x) = \begin{cases} 3ax^2+6x-a \; \text{ se x < 1} \\ 1 +\frac{1}{x^2} \qquad \qquad  \text{ se x ≥ 1} \end{cases} $

Per essere derivabile le due derivate laterali, calcolate nel punto x = 1,  devono essere eguali

$ D^- f(1) = \displaystyle\lim_{x \to 1^-} f'(x) = 3a+6-a = 2a+6 $
$ D^+ f(1) = \displaystyle\lim_{x \to 1^+} f'(x) = 1+1 = 2 $

$ D^- f(1) = D^+ f(1) \; \implies \; a = -2 $

c.  Lagrangia

La f(x) con a = -2 ha la forma

$ f(x) = \begin{cases} -2x^3+3x^2+2x-3 \; \text{ se x < 1} \\ x -\frac{1}{x} \qquad \qquad \qquad \text{ se x ≥ 1} \end{cases} $  in [0, q] con q > 1 

per cui

• $f(q) = q-\frac{1}{q}$
• $f(0) = -3$

applicando Lagrangia

$ \frac{q-\frac{1}{q} +3}{q} = f'(0) = 2$ 
$ q-\frac{1}{q} +3 = 2q$
$ q+\frac{1}{q} -3 = 0$
$ q^2-3q+1=0$

che ammette due soluzioni

1. $q = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ da scartare essendo < 1
2. $q = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$  O.K.

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