[Risolto] Continuità, derivabilità e derivate parziali

Affinché la funzione sia continua, dovrebbe essere

$lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} f(x,y) = f(0,0) = \frac{13\pi}{2}$

vediamo se è così.

Chiaramente se sostituiamo $(0,0)$ nella funzione otteniamo una forma indeterminata. 

Consideriamo la retta passante per l'origine $y=mx$ e sostituiamo tale valore nella funzione, per vedere se il valore che otteniamo dipende da $m$ o meno:

$ lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} arctan(\frac{y}{x}) = lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} arctan(\frac{mx}{x}) = lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} arctan(m)$

Osserviamo banalmente che al variare di $m$, il limite assume valore diverso. Dato che se il limite esiste questo dev'essere unico, il limite in (0,0) non esiste e la funzione non è continua.

Dalla teoria sappiamo che se una funzione è differenziabile in un punto, allora è anche continua.

Questo implica che se la funzione non è continua in un punto, allora non è nemmeno differenziabile.

Ora dobbiamo fare attenzione ad una distinzione importante:

1) In una variabile la derivabilità implica la continuità, quindi una funzione non continua in un punto, non è nemmeno derivabile.

2) In più variabili la differenziabilità implica la continuità, ma questo non vale per la derivabilità: esistono funzioni che sono derivabili (anche in tutte le direzioni), ma che non sono continue.

Le implicazioni valide in due variabili, per chiarezza, sono:

- Una funzione differenziabile in un punto è anche continua

- Una funzione differenziabile in un punto è anche derivabile

- Una funzione differenziabile in punto ammette derivate direzionali lungo qualunque vettore

- Una funzione derivabile parzialmente con derivate continue in punto, è anche differenziabile

Quindi nel nostro caso il fatto che la funzione non sia continua, non dice nulla sull'esistenza della derivata direzionale, che invece va verificata a parte!

Vediamo dunque di calcolare la derivata direzionale tramite la definizione. La funzione è derivabile in (0,0) lungo la direzione $v$ se esiste finito il limite:

$ \frac{\partial f}{\partial v} (x,y) = lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(x+tv_1, y+tv_2)-f(x,y)}{t} lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(tv_1, v_2)-f(0,0)}{t}$

Dunque nella direzione $v(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$ abbiamo:

$\frac{\partial f}{\partial v} (x,y) = lim_{t \rightarrow 0} \frac{arctan(\frac{t\frac{1}{\sqrt{2}}}{t \frac{1}{\sqrt{2}}})-\frac{13\pi}{2}}{t} = lim_{t \rightarrow 0} \frac{arctan(1)-\frac{13\pi}{2}}{t} = lim_{t \rightarrow 0} \frac{\frac{\pi}{4}-\frac{13\pi}{2}}{t}=\infty $

Quindi la funzione non è derivabile lungo questa direzione (in realtà non lo è lungo alcuna direzione).

Noemi

La funzione data ha gradiente
* ∇f(x, y) =
= (x = 0) & (∇f = (0, x/(x^2 + y^2)))
oppure
= (x != 0) & (∇f = (- y/(x^2 + y^2), x/(x^2 + y^2)))
e, poiché le derivate parziali non sono continue nell'origine, f(x,y) non è differenziabile; infatti il gradiente in (0, 0) diventa
* (x = 0) & (∇f = (0, 0/0))
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Se lo fosse stata allora la derivata direzionale sarebbe stata, con
* ∇f(0, 0) = (a, b)
il prodotto scalare
* (a, b).(1/√2, 1/√2) = (a + b)/√2