Continuità.

$ f(x) = x + ln(4) + \frac{2}{e^x+1} $

• Dominio = ℝ

a. Limiti

• $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$       Lo si fa per confronto essendo f(x) > x, per ogni x > 0.
• $ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty +ln(4) + 2  = -\infty$

b. Dimostrare che le due retta date sono asintoti obliqui della funzione significa verificare che il limite della differenza sia infinitesimo.

• Asintoto destro
• $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) - x - ln(4) = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x+1} = 0 $
• La retta y = x + ln(4) è l'asintoto destro della funzione f(x) 

• Asintoto sinistro
• $ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)  - x - 2 - ln(4) = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x+1} - 2 = 0 $
• La retta y = x + 2 + ln(4) è l'asintoto sinistro della funzione f(x)

Grafico

https://www.desmos.com/calculator/fkfipl4k4s

c.  Dobbiamo verificare due disequazioni

i)

la retta y = x + ln(4) + 2 è maggiore della funzione f(x) per ogni x reale. Vero, infatti

$ x + ln(4) +2 \ge x+ ln(4) + \frac{2}{e^x+1} $

$ 2 \ge \frac{2}{e^x+1} $  

$ 1 \ge \frac{1}{e^x+1} $      eˣ è un numero positivo, quindi, 1 è maggiore di 1 diviso per un numero maggiore di 1.

ii)

la retta y = x + ln(4) è minore della funzione f(x) per ogni x reale. Vero, infatti

$ x + ln(4) \le x+ ln(4) + \frac{2}{e^x+1} $

$ 0 \le \frac{2}{e^x+1} $  

Vera per ogni x reale.